74 A. Haar.

existiert, und zwar gleichmäßig für alle x, die eine bestimmte Größe Xübersteigen. Dann ist für diese Werte von x

a+i co

(3) = J eZX( P( z )dz-

a—% co

Bei etwas modifizierten Annahmen ist diese Umkehrungsformel — undähnliche dieser Art — in der Literatur von verschiedenen Autoren auf-gestellt und angewandt worden. Schon Herr Pincherle hat in einer be-kannten Abhandlung H ) unter bestimmten Einschränkungen über f(x) dieseFormel abgeleitet; Herr Hamburger 0 ) bewies sie sodann unter der An-nahme, daß das Integral ( 1 ) für z = a 0 absolut konvergiert. Für unsereZwecke, da es sich eben darum handelt, aus den Eigenschaften der Funk-tion <p(z) auf diejenige von f(x) zu schließen, ist es wichtig, daß keineAnnahmen über das Verhalten von f(x) im Unendlichen gemacht werden,statt dessen die gleichmäßige Konvergenz des Integrals (2) verlangt wird.

Um unter dieser Bedingung die Umkehrungsformel abzuleiten, setzenwir zur Abkürzung:

X

F (x) = J e~ a ° x f(x) dx ;

o

wegen der Konvergenz des Integrals (1) für z — a 0 bleibt | F{x) \ für jedenWert von x kleiner als eine feste Zahl. Durch Produktintegration erhältman für 9Î (z) > o 0 :

co cc

V ( 2 ) — je-(2-°o)« '121 d x — _ 0 o ) j e -(z-o 0 )x F{x) dx,o o

wobei das letzte Integral für die betrachteten Werte von z absolut kon-vergiert. Setzen wir noch zur Abkürzung

F*(x) = e°o*F(x),

Z o 0

so ergibt sich aus

(4) <ï>*{z) — j e~ zx F*~ (x) dx

o

die Umkehrungsformel 10 )

a+ico

(5) F*(x) = lim f e**&*(z)dz (a > a 0 )

CO = CO

a —ico

8 ) Sur les fonctions déterminantes. Annales de l'Ecole Normale Supérieure 22(1905), S. 1-69.

°) Über eine Riemannsche Formel aus der Theorie der Dirichletschen Reihen.Math. Zeitschr. 6 (1920), S. 6.

10 ) Dies ist eben der Fall, den Herr Hamburger in seiner a. a. 0. genanntenArbeit behandelt.

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