Asymptotische Entwicklungen. 75

als eine unmittelbare Folge des Fourierschen Integrals. In der Tat folgt ")wegen der absoluten Konvergenz des Integrals (4) für z = a > o 0

CO

e-cx F * ( x ) = -1 lim f er«6 F* (f ) ain "^~ a:) dS

^ CO — CO J '

— CO

an jeder Stelle x>0 (da F*(x ) differenzierbar ist). Hieraus ergibt sichdurch eine leichte Umformung

CO CO

e-" x F*(x) = ~ lim J c-°« ^*(f){ J } df

00 0 — co

CO CO

= ¿ lim J {Je-" 5 J , *(£)e-««-*»df}di,

-co 0

da die Umkehrung der Integrationsfolgen wegen der angenommenen ab-soluten Integrabilität des Integranden gestattet ist. Hieraus entnimmtman unmittelbar

CO CO

jF , *(s) = ¿ Hm J e'"+ í » a; {Je-( < '+ ií )5 J F'*(|)d|Jd<

■# — co U

CO

= — lim i e (t,+íí,:c -|- ¿í ) d¿ ,

J

— CO

womit die Formel (5) erwiesen ist. Die so gewonnene Gleichung

(5') e°°*F{x)=~ lim J

CO = CO «/

<T+ÍCO

Vi")

dz

führt nun zu unserer Behauptung durch die folgende Überlegung: Schreibtman zur Abkürzung 12 ):

o + i CO

(2*) f*( x ) = ¿ J e< z ~"° )X( P{z)dz,

o — l CO

11 ) Vgl. C. Jordan, Cours d'Analyse (3. Aufl.) 2, S. 278.

12 ) Aus den für das Integral (2) gemachten Voraussetzungen folgt nicht nur die

Existenz des Integrals

O + i CO CT + ico

S e ( z - a ° )x <p(z)dz = e l ''-°° )x J e {z -° )x cp{z)dz,

o—i co o — i co

sondern auch die Tatsache, daß es in jedem endlichen Intervall

x l < X <

gleichmäßig konvergiert, sobald x¡ und x„ größer als X ausfallen.