76 A. Haar,

so folgt — falls x 1 und x 2 größer als X sind —

<7 + 1 CO

f x , 1 f ato—d*. , w

CT— I CO

da die Umkehrung der Integrationsfolgen wegen der angenommenen gleich-mäßigen Konvergenz des Integrals (2) für x > X gestattet ist. Das heißtes ist

X 2 %i

f f*(x) dx = F(x^) — F(x 1 ) = f e~"« x f(x)dx,

X,

und wegen der Stetigkeit der Funktionen f(x) und f*(x)

f*{x) = e~"- x f(x).

Hieraus folgt aber mit Rücksicht auf (2*) unsere Umkehrungsformel

CT + Í 00

= ¿ J eZX( P{z) dz -

2. Bevor wir weitere Schlüsse aus dieser Umkehrungsformel ziehen,wollen wir zwei Fälle hervorheben, in denen das Integral

CT + i 03 CO

jf e (z ~ a,x <p(z) dz = f e itx <p(o it) dt

a—i co — co

gleichmäßig in x konvergent ist, da sie in den folgenden Untersuchungenhäufig auftreten werden. Dies findet jedenfalls statt, wenn

a) 9 o(o-\-it) bei t = ± oo absolut integrabel ist, da sodann für jedenWert von x

ß ß

I f e itx cp (o -j- it) dt \ <¡ f I <p(o + it) I dt

a a

ist, oder wenn

b) die Ableitung cp'[a-\-it) für t = + oo absolut integrabel und

lim cp (c + i t) — 0

£ = ± CO

ist. In der Tat ist

ß ß

! f it* / i i. \ e itß <p (oe ita cp (o + ia) 1 f ,, . , > , !■

e xtx cp(o-\-zt) dt = ———■ — - e ltx cp {o-\-it)dt\

I J II IX X J I

a a

ß

^{ M 0 + î '/ 3 ) I + \<p( a + ia )\+\w'{ a + i t)\ dt},

a

und diese Ungleichung lehrt, daß für alle Werte von |x|, die oberhalb