Asymptotisohe Entwicklungen.
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einer positiven Grenze liegen, dieses Integral kleiner als eine von x un-abhängige Größe ô wird, falls die Grenzen a und ß hinreichend großepositive bzw. negative Zahlen bedeuten.
Die gleichmäßige Konvergenz der Integrale von der Form
co a
(6) f e itx y> (t) dt bzw. f e itx ip(t) dt
a — œ
spielt bekanntlich eine wichtige Rolle, wenn es sich darum handelt, nach-zuweisen, ob die Fouriersche Integralformel für die Funktion ip (t) gültigist. Deshalb wollen wir der Kürze halber sagen, daß die Funktion ip(t)bei t — cc bzw. bei t — — co für alle x ^ X den Fourierschen Charakterhat, wenn das entsprechende Integral für diese Werte von x gleichmäßigkonvergiert, d. h. wenn man zu jeder noch so kleinen Zahl ô eine positiveGrenze co derart bestimmen kann, daß für alle x ^ X
P
I f e ixt yj (t) dt I < ô
a
ausfällt, sobald « co und ß u> bzw. cc — co und ß ^ — co ist 13 ).Beispielsweise hat die Funktion »
a + it
(wo o eine reelle Größe bedeutet) sowohl bei t — oo als auch bei t — — oofür jeden positiven Wert von x den Fourierschen Charakter; es ist nämlich:
r e itx ~ dt= y {-T-ni - Sr a -^ x] - + r ¿A ,
J o + it l+a;\t(oF-t-t/î) i(o + ia) J (a+it) >
a cc
aus der die erwähnte Gleichmäßigkeit für jedes positive x unmittelbar folgt.
Aus der gleichmäßigen Konvergenz der Integrale (6) (für x ^ X)folgen — in bekannter Weise — die Limesgleichungen
oo a
lim J e itx ip(t) dt = 0 bzw. lim f e itx y(t) dt = 0,
X= co a 35=03 —co
falls die Funktion yj(t) in jedem endlichen Intervall integrabel ist 14 ).
3. Entscheidend für die folgenden Entwicklungen ist der Umstand,wie weit nach links in der obigen Umkehrungsformel die Integrationsgerade
13 ) Die Voraussetzung der Umkehrformel (gleichmäßige Konvergenz des Inte-grals (2)) besteht in dem Fourierschen Charakter von <p(o + it) bei £ = ± oo.
14 ) Um unnötige Komplikationen zu vermeiden, benutzen wir in der vorliegendenArbeit überall den Lebesgueschen Integralbegriff. Bei Zugrundelegung des Riemann-Bchen Integrals wäre absolute Integrabilität erforderlich.