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A. Haar.

verschiebbar ist, d. h. die Frage nach der kleinsten reellen Zahl a, fürdie die Formel

f( z ï = 2^t J e * X( P( z ) dz

a—i*>

noch gilt. Hierzu sei folgendes bemerkt. Sei a eine reelle Größe < ovon der folgenden Beschaffenheit: Die Funktion <p(z) ist

I. für alle Werte von z, deren reeller Teil größer als a ausfällt,regulär analytisch;

II. sie besitzt Randwerte 15 ) längs der Geraden 3t (z) = a, die einesolche Funktion cp{a-\-it) der Ordinate t bestimmen, deren Betrag injedem endlichen Intervall von t beschränkt und die bei t = ± oo für hin-reichend große Werte von x vom Fourierschen Charakter ist;

III. die Integrale

a+ico o—ico

f e zx <p(z)dz und / e zx ç>(z)dz

O-j-ioj CL — i co

streben (bei hinreichend großen Werten von x) gegen Null, falls m überalle Grenzen wächst.

Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt noch

a+i OO OD

f{x) = ¿ J e zx cp{z)dz = e ^ J* e itx <p (a + it) dt.

a—i oo —co

In der Tat, wendet man das Cauchysche Theorem auf das Rechteckmit den Ecken 18 )

a — i co 1 , a — i cOj , a + i ci> 2 , a + im 2

I5 ) Der Begriff des Randwertes ist dabei wie folgt zu verstehen: Die Punktion <~p(z)besitzt an der Stelle z 0 — a + i t 0 den Randwert A 0 , wenn man zu jeder positivenZahl <5 eine Größe e derart bestimmen kann, daß für jedes z, dessen reeller Teilgrößer als a ist, die Ungleichung

I A 0 -<p(z)\<6

eine Folge der Ungleichung

I z - z 0 1 < «

ist.

10 ) Die Anwendbarkeit des Cauchyschen Theorems im vorliegenden Falle ergibtsich aus folgender Überlegung : Aus der Annahme, daß die Randwerte eine beschränkteFunktion bilden, folgt die Beschränktheit der Funktion cp(z ) selbst in dem be-trachteten Rechteck. Wendet man daher den Cauchyschen Satz auf das Rechteckmit den Ecken

a + s — icoi, a — ico lt a-\-ico 3 , a + i + i cu 2 (s>0)

an (auf dessen Peripherie cp (z) regulär analytisch ist), so erhält man durch den