Asymptotische Entwicklungen. 79

an, so folgt — da innerhalb des Rechtecks cp ( z ) regulär analytisch ist —

a + ico 2 CT + ta>o a — ico 1 a + ico^

f e zx cp(z)dz — f e zx cp (z) dz + J e zx (p(z)dz-\- J e zx cp{z)dz,

a—icoi a — icox a—i(O x a + i(0 2

woraus mit Rücksicht auf die Bedingung III durch den Grenzüberganga> 1 = oo und cw 3 = 00 unsere Behauptung folgt.

Erfüllt (p{z) alle oben aufgezählten Bedingungen, so gilt — nach deram Schluß von 2., S. 9 gemachten Bemerkung —

QO

lim Je itx cp(a + it) dt = 0,

X= » — CC

d. h. es ist

lim e~ ax f(x ) = 0,

X— 00 .

und wir gelangen zu dem folgenden Satz, der die Grundlage unserer Unter-suchungen bildet:

Es sei f{x) eine für alle positiven Werte von x definierte Funktion,die in jedem endlichen Intervall stetig und von beschränkter Schwankungist. Wir nehmen ferner an, daß ihre Laplacesche Transformierte

CO

<p(z) = J e~ zx f(x) dx0

die folgenden Eigenschaften 1? ) besitzt:

I. Sie ist für alle Werte von z = a + it , deren reeller Teil größera ls a ist, regulär analytisch, und es besitzt die Funktion cp{o-\-it) derreellen Veränderlichen t bei t = + co für hinreichend große Werte von xden Fourierschen Charakter.

II. Sie besitzt längs der Geraden 9Î ( 2) = a Randwerte, die eine solcheFunktion definieren, deren Betrag in jedem endlichen Intervall beschränktist und die bei t = ± 00 für hinreichend große x vom FourierschenCharakter ist.

III. Die Integrale

a + ico o—ico

f e zx <p(z)dz und J e zx <p(z)dz

a+ico a—ioj

streben bei hinreichend großen Werten von x gegen Null, falls co über alleGrenzen wächst.

Grenzübergang e=0 die gewünschte Formel, da wegen der Beschränktheit der auf-tretenden Punktionen die Limesgleichungen

a + E + ico 2 a+ico 2 (7 rfc ¿ co o±ico

lim J* e zx q>(z)dz= J e zx <p(z)dz, lim J e zx rp(z) dz — / e zx <p(z)dz

r=0 flfE-iwj a—i(0 1 £=0 B+tiiw a±ici>

gelten.

17 ) Im folgenden werden diese Eigenschaften als Bedingungen I, II, III zitiert.