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A. Haar.

Unter diesen Bedingungen gilt die Limesgleichung :lim e~ ax f(x) — 0 .

¡5=1X1

4. Wir nehmen jetzt an, daß die Laplacesche Transformierte cp (z)von f(x ) — außer den in dem vorangehenden Satz aufgestellten Be-dingungen I, II, III — noch der weiteren Bedingung unterworfen ist,daß die Randfunktion cp{a-\-it) n-mal differenzierbar ist, die so ge-wonnenen Funktionen:

cp(a-\-it), cp'(a-\-it), cp"(a-\-it), ..., «p'" -1 ' (a + it)

für t — + oo den Grenzwert Null haben und cp (,i) ( a + it) in jedem end-lichen Intervall der Variablen t integrabel, bei t = ± oo aber für hinreichendgroße Werte von x vom Fourierschen Charakter ist 18 ).

Unter diesen Bedingungen gilt die schärfere asymptotische Formel:lim x n e~ ax f(x) — 0 ,

iC=oo

denn es ist bei den gemachten Annahmen

CO CO

i - " 1 /"(®) — 5~— e itx (p{a + it)dt = — 5^— e itx <p' (a -\- it) dt

u JC J ' o It X J

— CO — CO

CO CO

= 2/ eit%c P"{a + H)dt = = j e itx <pW(a + it)dt,

— CO — CO

woraus nach der am Schluß von 2. (S. 77) gemachten Bemerkung unsereBehauptung unmittelbar folgt.

Es sei noch bemerkt, daß die dargelegte Methode anwendbar bleibt,wenn die vorgelegte Funktion nicht für alle positiven Werte von x, son-dern nur für solche definiert ist, die größer als eine untere Grenze Xsind. Wenn man nämlich f(x) für x X gleich Null setzt und dasasymptotische Verhalten der so erhaltenen Funktion nach der vorangehen-den Methode untersucht, so handelt es sich um das Studium der Funktion

CO

99 (z) = Je~ zx f(x)dx.x

Wir werden sogar sehen, daß selbst in Fällen, wo die Funktion f(x) füralle positiven x definiert ist, häufig zweckmäßig ist, statt des ursprüng-lichen Integrals (1) auf dieses letzte Integral zurückzugreifen, was ja da-

18 ) Man beachte, daß aus dem Umstände, daß die w-te Ableitung <p w (a + it)bei £ = ± co den Fouriersehen Charakter besitzt und die Ableitungen (p ( a + it),rp' (a + it), ..., <pf- l >(a + it) für t=± 00 gegen Null streben, der FourierscheCharakter von cp^-u (a + it), ç> (n_a ' (a + it), ..., cp (a + it) bewiesen werden kann.