Asymptotische Entwicklungen.

81

mit gleichbedeutend ist, statt des asymptotischen Verhaltens von /'( x) dasVerhalten derjenigen Funktion zu studieren, die für x X verschwindet,für x > X aber mit f(x) übereinstimmt.

§2.

Die einfachsten Singularitäten der Laplaceschen Transformierten.

5. Die vorangehenden Untersuchungen zeigen den Zusammenhangzwischen dem asymptotischen Verhalten einer Funktion und den funktionen-theoretischen Eigenschaften ihrer Laplaceschen Transformierten in vollerAnalogie mit der sogenannten Darbouxschen Methode, die das asympto-tische Verhalten einer Zahlenfolge /j, f a , . mit den funktionen-theoretischen Eigenschaften ihrer erzeugenden Funktion 5] f n z n in Ver-bindung setzt. Wie bei der Anwendung der Darbouxschen Methode dererste Schritt die Bestimmung des Konvergenzkreises der erzeugendenFunktion ist, so wird im folgenden der erste Schritt die Bestimmung derunteren Grenze a derjenigen Abszissen sein, für die die Laplacesche Trans-formierte die Bedingungen I und III unseres Satzes S. 79 erfüllt. Obwohlauf dieser Grenzgeraden keine singulären Stellen der Funktion <p(z) liegenmüssen, so werden in den folgenden Anwendungen dennoch hauptsächlichsolche Fälle auftreten, wo das Verhalten der Laplaceschen Transformiertenim Unendlichen keine wesentlichen Schwierigkeiten bietet und die Grenz-gerade 9t(z) = a einfach dadurch bestimmt ist, daß auf ihr singuläre Punktevon cp (z) von einfachem Charakter liegen. Dies führt auf die Frage, dasasymptotische Verhalten von f(x) zu bestimmen, falls cp (2) auf der er-wähnten Grenzgeraden singuläre Stellen vom algebraischen Charakter (inendlicher Anzahl) aufweist, im Unendlichen aber alle aufgestellten Forde-rungen erfüllt. Dieses Vorgehen entspricht genau dem, was Darboux inseiner berühmten Abhandlung unternommen hat, und wir gelangen zu demfolgenden Satz :

Die Funktion

CO

cp (z) = Je~ zx f(x)dx0

erfülle für 91(z)>a die Bedingungen I und III unseres Satzes S. 79 ;auf der Geraden 3î(z) = a selbst gestatte die Funktion cp[z) bzw. ihreRandwerte die folgende Zerlegung:

9»( a ) = ;—; + v( z ) 0z = a + it),

(z-z 0 ) e

wobei z 0 = a~J~it 0 ein Punkt der Geraden ist, die Funktion yj(a-\-it)aber eine n-mal differenzierbare Funktion von t bedeutet von der J5e-

Mathematische Annalen. 96. 6