82 A. Haar.

schaffenheit, daß j y> (n) (a it)\ in jedem endlichen Intervall von t be-schränkt ist; die Ableitungen

<p (a-\-it), <p '(a J -it), ..., 99< n-1) (o -j- it)

mögen für t=±o o den Grenzwert Null haben, und schließlich besitzecp {n) (a + it) bei t = + oo für hinreichend große x den Fourier sehenCharakter.

Unter diesen Bedingungen gilt die asymptotische Formel :

lim x n e~ ax I f(x) — „} . e ZaX x s _1 ] = 0 ;

*=<* L v ' r (e) -I

g bedeutet hierbei eine beliebige reelle oder komplexe Größe, die wederNull noch eine negative ganze Zahl ist.

Wir beweisen diesen Satz, indem wir zeigen werden, daß die Laplace-sche Transformierte 0(z) der Funktion

F(x) — e z " x x^~ 1

für 9î(z)>a die erwähnten Bedingungen I und III erfüllt, daß sie eineZerlegung von der Form

<Z>(z) = 1 h V(»)

V ( z -z 0 ) e

gestattet, wo X I J (z) eine ganze transzendente Funktion ist, und schließlichdaß 0 (z) und alle Ableitungen ( P >n) (2) auf der Geraden s Jt(z) = a beit = ± 00 den Fourierschen Charakter besitzen und gegen Null streben, wennt über alle Grenzen wächst.

Auf Grund dieser Tatsache ergibt sich nämlich die obige Behauptung,wenn man den Satz S. 80 auf die Funktion

~~ r(g) eZ ° x x& ~ 1

anwendet, deren Laplacesche Transformierte

<p(z) — <P (z) = y> (z) — W (z)

alle Bedingungen jenes Theorems erfüllt.

Wenn der reelle Teil von q positiv ist, so ist unsere Behauptungeine unmittelbare Folge der fundamentalen Formel der Theorie d^rr-Funktionen

CO

(7 ) &(z) = 777-^ I e~ zx e z ° x x?~ 1 dx = .

y i K) J (e) J (z-* 0 ) e