Asymptotische Entwicklungen.

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Die Funktion V ( z) ist also identisch Null und der Fouriersche Charaktervon 4>(z) und ihrer Ableitungen ist eine Folge (nach einer S. 70 ge-machten Bemerkung) des Umstandes, daß die Integrale

a+i co

J I á> (n) (z) I dz bzw. f dz (n = 1,2,3,...)

a — i co

absolut konvergieren, wenn — w < t 0 < co ist.

Eine etwas umständlichere Diskussion erfordert der Fall, wo 3î(e)< 0ausfällt.

In diesem Falle betrachten wir die Laplacesche Transformierte derFunktion -=r^ e z « x x e ~ 1 zwischen den Grenzen 1 und 00, also

r (e)

CO

(8) 0(z) = J e- {z ~ z ° )x x?- 1 dx ÍK (z) > 9Í (z 0 ) = a .

1

Auch dieses Integral wird in der Theorie der r-Funktionen vielfach be-handelt. Durch zweimalige Produktintegration ergibt sich zunächst

1 ( »-(Z-Zo) „-(z-zj

(*') •w-jrô{7=ï- + (»- 1 )^7

CO

^ 4e — l)(g-2) Í e -(z-z 0 )x x e-3 dx \

(z-z 0 ) J J

woraus man unmittelbar erkennt, daß die Bedingungen I und III erfülltsind, da für z = o-\-it, a>a = 9i(z 0 ) das erste Glied in dieser Summenach der Bemerkung S. 77 bei t — + 00 den Fourierschen Charakter be-sitzt, die beiden andern Glieder aber absolut integrable Funktionen von t(im Intervall — 00 < t < 00) darstellen.

Man überzeugt sich ferner durch eine einfache Überlegung, daß fürjeden Wert von z 0 , der von z verschieden ist

{ 1 co V

e~ x x e ~ x dx 4- I e~ x x s ~ 1 dx<

J, J I

Z ~Zq 1

ist, wobei das erste Integral längs eines Weges zu nehmen ist, der dienegative reelle Achse nicht trifft. Für reelle positive Werte von z — z 0folgt diese Relation aus der Definition von <£(z), wenn man in demIntegral (8) die neue Integrationsvariable (z — z 0 )x einführt; für andereWerte von (z — z 0 ) aus dem Umstände, daß in der längs der reellen

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