84 -A. Haar.

negativen Achse aufgeschnittenen Ebene e~ z z"~ 1 eine reguläre analytische

Funktion darstellt lö ). Beachtet man noch, daß

«

+c

f.-*-*.- f 2{-iy-^dx-Z(-ir±=£0t

, , -_z v=0 ' r=0 V

Z — Zq 2 ZQ

ist, so ergibt sich in Anbetracht der bekannten Formel 30 )

00 00

^(g)-¿(-l) V v!( ,! +e) +J e-'xe-idx

v=0 1

(g> keine negative ganze Zahl) die Relation

< 9 >

in der die unendliche Summe tatsächlich eine ganze Funktion von zdarstellt.

Um schließlich das Verhalten von 0(z) auf der Geraden 9î(z) = azu untersuchen, bemerke man, daß das Integral (8) wegen ( o ) <^ 0 auchnoch für die Werte z — a -|- it absolut konvergiert; daraus folgt nach einembekannten Satze, der die Übertragung des Abelschen Satzes über Potenz-reihen auf die Laplaceschen Integrale ist, die Relation

CO

0 (a -f- it) = J" e~ i{ - t ~ ta)x xo- 1 dx,

aus der man durch wiederholte Produktintegration die folgende Formelgewinnt :

r(e)3>(a-Mi) =

p i to) p i (í ¿o)

g i (t ¿o) Q i t O )

+ { q — 1) ( q ~ 2) ; —— 7773 + -- - + (¡? — "l)(í?-~2)...(£> — n)-

(i(t-í 0 )) 3 " (i(í-f„)) n+1

co

i f g -i(t—t a )z %(?-n- 2

( i(t-U) n + 1 J

(i(t-t 0 )) r

Bilden wir nun die ra-te Ableitung <Z > ln, (a + ¿í), so erkennt man, daß

i

f><™) /

19 ) Die rechte Seite der letzten Gleichung stellt nämlich eine solche Funktiondar, die eindeutig regulär analytisch ist, falls z — z 0 nicht gleich einer negativenreellen Zahl oder Null ist und die mit der ebenfalls analytischen Funktion i 1 (z) über-einstimmt, falls z — z 0 gleich einer positiven reellen Zahl ist ; daraus folgt die Über-einstimmung beider Funktionen.

-°) Vgl. etwa N. Nielsen, Handbuch der Theorie der Gammafunktionen, S. 143.