Asymptotisohe Entwicklungen.

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die eckige Klammer in der obigen Darstellung durch n- malige Differen-tiation in eine Summe von der Form

übergeht, wobei die cc 1 , ...,a. in+1 Konstante bedeuten; dieser Aus-druck hat nach der S 76 und 77 gemachten Bemerkung bei t = + oo (fürhinreichend große x) den Fouri ersehen Charakter. Die n-te Ableitung deszweiten Gliedes in der obigen Darstellung von + hat die Form

da die Ableitungen des Integrals wegen der gleichmäßigen Konvergenzsämtlicher auftretenden Integrale durch Differentiation des Integrandengewonnen werden. Alle Integrale in diesem Ausdruck sind dem Betragenach unterhalb einer von t unabhängigen Grenze ; daraus folgt die absoluteIntegrabilität im Unendlichen der durch diese Summe dargestellten Funk-tion, also ihr Fourierscher Charakter bei t = ±oo.

Es zeigen auch die entwickelten Formeln die Konvergenz der Ablei-tungen & {n) (a-\-it) gegen Null, falls t über alle Grenzen wächst. Damitist unsere Behauptung in allen Teilen bewiesen.

In derselben Weise ergibt sich der etwas allgemeinere Satz, daß wenndie Laplacesche Transformierte <p(z) der betrachteten Funktion fix) für3î(z)>a die Bedingungen des vorangehenden Satzes erfüllt, auf derGeraden 9ï(z) = a aber in der folgenden Form darstellbar ist:

wobei z lt = a J [-it K Punkte dieser Geraden, die Exponenten g x aber ivederNull noch negative ganze Zahlen sind, wenn ferner die n-te AbleitungV (n) {a -f- it) in jedem endlichen Intervall von t vom beschränkten Betrageist, die Funktionen

für t = + oo den Grenzivert Null haben und schließlich <p {n) {a + it) beit = + oo den Fourierschen Charakter besitzt, so besteht die folgendeasymptotische Formel :

2?i+l

V

9?(a-{-it), (p'(a-\-it), ..., 9J ,n_1, (a + it)

V

lim x n e~ ax