86 A. Haar.

6. Der wesentliche Punkt der vorangehenden Untersuchungen ist dieDiskussion des analytischen Charakters der Laplaceschen Transformiertender Funktion e ZoX x"~ 1 , falls o nicht Null und keine negative ganze Zahlist. Wir wollen jetzt diese ausgeschlossenen Fälle untersuchen und an-nehmen, daß g = — fc eine negative ganze Zahl oder Null ist. Diesführt zur Behandlung der Funktion:

CO

^ ( z ) = J e ~ zx ßZ ° x x ~ k ~ x dx (¿ = 0, 1, 2, ...).

i

Durch wiederholte partielle Integration erhält man — ähnlich wie im vor-angehenden Falle — die Formel:

-(Z-Z„) -(2-2 0 ) v , s -(Z-Z„>

— -+(i+i)(¿+2).; —2 z 0 (z-*o) (*- z o)

f ••• + (-1) (k + 1) (& + 2) • • • (k + n) - —^

(Z — Z 0 )

- (- 1)" (k+l)(k + 2)...(k + n + l) ( e -^ o)x - k -n-, dXi

(z-z 0 ) n+1 J

aus der man, wie oben, erkennt, daß <P(z) alle Forderungen, die für dasVerh a lt en im Unendlichen gestellt sind, erfüllt, sowohl für 9î(z) > ïït (z 0 ) — a,wie auch längs der Geraden 9î(z) = a. Wiederum gilt die Darstellung

/ 1 co \

#> (z) = ( z — z 0 )* { J e~ x x~ k ~ 1 dx -j- / e~ x x~ k ~ 1 \ dx

Z Zq 1 '

(wobei der Integrationsweg wie oben zu wählen ist), aus der man mitRücksicht auf die Relation

Je-«»"*" 1 ** =2J (- l) v 1 v \ Z {v l o) h) - + '° g(8

Z-Zo W

in der die Summe auf alle ganzzahligen Werte von v mit Ausnahme vonv — k zu erstrecken ist, erkennt, daß <I> (z) eine Zerlegung von der Form:

<P(z) = (- l) i+1 ^-^log(z-z 0 )+!P(z)

gestattet, in der 'i'(z) eine ganze transzendente Funktion ist. Durch einewörtliche Übertragung des Beweisganges, der auf den Satz S. 81 diesesAbschnittes führte, gelangt man aus dieser Zerlegung zu dem folgendenResultat:

Die Laplacesche Transformierte <p (z) der Funktion f{x) erfülle dieBedingungen I und III (S. 79) für 91 (z) > a; auf der Geraden 9Î (z) = agestatte <p{z) bziv. ihre Randwerte die Zerlegung:

cp (z) = (z - z 0 )* log (z - z 0 ) + yj (z) (z 0 = a + it 0 ),