Asymptotische Entwicklungen.

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wobei k eine positive ganze Zahl oder Null bedeutet und die Funktion\¡>{a-]-it) von t so beschaffen ist, daß ihre n-te Ableitung y (n) (a + it)dem Betrage nach in jedem endlichen Intervall beschränkt bleibt ; es mögendie Funktionen

cp (a-\-it), cp' (a + it), . . ., <p ln ~ 1) (a + it)f ür t=± oo den Grenzwert Null haben und <p in \a + it) bei t = ± ooden Fourierschen Charakter (für hinreichend große x) besitzen. Unterdiesen Bedingungen gilt die asymptotische Formel:

lim x n e- ax [f(x) + (- 1 ) le k\e t ' x x- k ~ 1 ] = 0.

X= co

7. Durch diesen Satz erhält man den asymptotischen Charakter derFunktion f(x), falls ihre Laplacesche Transformierte in einem Punkte derkritischen Geraden eine logarithmische Singularität aufweist, im Unend-lichen aber alle gestellten Forderungen erfüllt. Es liegt nun nahe, nochden allgemeinen Fall zu untersuchen, daß <p(z) längs der Geraden 9 î(z) = aeine Zerlegung

gestattet, wobei g keine negative ganze Zahl bedeutet, \ y.< (n) {a + it) \wiederum in jedem endlichen Intervall von t beschränkt bleibt, und cp(z)für 9i(z)>a die Bedingungen I und III, für 9 l(z) = a aber — wie inden vorangehenden Fällen — die Bedingungen erfüllt, daß

lim cp (r) (a -j- it) = 0 (v = 1, 2, ..., n — 1 )

t = + CO

ist und 93 (n) (a + it) bei t = + oo den Fourierschen Charakter besitzt.Man zeigt unschwer, daß unter diesen Bedingungen:

lim x n e

X= co

ist.

1 z °*.re- 1 f\na X - CW\

f( x ) + T( e ) e ° xa ( loga: r(e)l

= 0

In der Tat, ist der reelle Teil von q positiv, so erhält man für

9î(z) > 9î(z 0 ) = a durch Differentiation der Gleichung (7) nach q :

e - zx e zox x e-i logxdx = J (g) _ W lo g (z - Z q) .

\ z 0 ) ( z ~ z o)

GC

J

0

Wenn dagegen 9í ( o ) < 0, o aber keine negative ganze Zahl ist, so ergibtsich in ähnlicher Weise aus (9):

co

/<

1

e zx e z ° x x a 1 log xdxr' (e) r(e)

log(z-z 0 )+ V(-

^ I ( «. I "

( 2 *o)~ ( z ~~ z o)~ v ! (v g)