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A. Haar.

da die Differentiation unter dem Integralzeichen wegen der gleichmäßigenKonvergenz der resultierenden Integrale gestattet ist.

Man kann nun die Funktionen:

CO

@( z ) = f e~ zx e z ° x x?' 1 logxdx ($R(i?)>0)

0

CO

bzw. Ö>(z) = J e~ zx e z « x x ß ~ 1 logx dx (9Î(^)<0)

1

einer ähnlichen Diskussion unterwerfen, wie es in 5. mit der dort mit í>(z)bezeichneten Funktion geschah. Man überzeugt sich, daß diese Funktionenfür Ül (z) > a regulär analytisch, für z = a -\- it aber bei t = + oo denFourierschen Charakter besitzen. Daraus folgt aber, daß, wenn die La-placesche Transformierte <p(z) von fix) längs der Geraden 9î(z) = a dieZerlegung:

<p ( 2 ) = ( T ' ( /L - log ~ z o) + y (g)

[ z ~ z o) \ z ~ z o)

gestattet (f?=|=0> — 1, —2, ...), ivobei | + ¿í) | in jedem endlichen

Intervall von t beschränkt bleibt, <p (z) aber die Bedingungen I und III(S. 79) für 3l(z)>a erfüllt, für z — a-\-it aber so beschaffen ist, daß

lim ç> (v) (a -f- it) = 0 (v = 0,1, 2,..., n— 1)

t = + CO

ist, und (f ' n) (a + it) bei t = + oo den Fourierschen Charakter besitzt, dieasymptotische Formel:

lim x n e~ ax [f(x) — e z ° x x e ~ 1 loga;] = 0

X= co

richtig ist.

Durch Kombination dieses Ergebnisses mit dem in 5. gewonnenenResultat erhält man die zu Beginn von 7. aufgestellte Behauptung.

8. Dieser letzte Satz ergibt sich aus den beiden vorangehenden(vgl. 5. und 6.) durch ein Verfahren, das vielfach mit Vorteil angewandtwerden kann; es besteht in der Anwendung der folgenden Formel, diedas Multiplikationsgesetz der Laplaceschen Transformation angibt 21 ). Ist

CO CO

<Pi( z ) = f e~ zx f 1 (x)dx, <P*(z) = f e~ zx f 2 (x)dx,

a a

so ist

CO

9>( z ) = 9?i( 2 ) <PÁ Z ) = f e ~ zx f(x)dx,

- 1 ) Diese leicht verifizierbare Formel tritt häufig in allen Untersuchungen —beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitsrechnung — auf, bei denen die LaplacescheTransformation eine Rolle spielt; vgl. Horn: Journal für die reine und angewandteMathematik 144, S. 170.