Asymptotische Entwicklungen.

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wobei

(10) f(x) = //i(f)/ , 2 (^ — £) dl

a

gesetzt ist, falls die auftretenden Integrale absolut konvergieren. Nehmenwir an, daß cp l (z) im Punkte z = z 0 eine algebraische Singularität (wiein 5.), <Px(z} aber eine logarithmische (wie in 6.) besitzt, so hat cp(z)die Singularität der in 7. behandelten Art und das asymptotische Ver-halten von f{x) — das unschwer diskutierbar ist — liefert den letztenSatz. Überhaupt lehrt die Formel ( 10) das asymptotische Verhalten einerFunktion, deren Laplacesche Transformierte als ein Produkt dargestelltist, wenn man das asymptotische Verhalten der zu den einzelnen Faktorengehörigen Funktionen kennt.

Das Ergebnis unserer Untersuchungen besteht in der Erkenntnis,da ß -— falls die Laplacesche Transformierte (p (z) einer Funktion f{x) dieerwähnten Bedingungen im Unendlichen erfüllt — der funktionentheoretischeCharakter dieser Transformierten bzw. ihre singulären Stellen und zwardiejenigen, deren reeller Teil möglichst groß ist, ausschlaggebend für dasasymptotische Verhalten der zugehörigen Funktion f(x) ist. Die behan-delten Fälle betreffen Singularitäten von algebraisch-logarithmischemCharakter; es ließe sich auch der Fall behandeln, in dem die Laplacesche

Transformierte eine exponentielle Singularität (von der Form e 2 ) aufweist.Man hat zu diesem Ende die Formel:

? - ;. 2 •

i P -»» cos ¿ j. _ ]j n

J l/x V z

o

heranzuziehen; in der Tat ist das asymptotische Verhalten der Funk

cos A "V ce • • •

tion ——— eine total verschiedene von den bisher betrachteten. Es wäreI X

auch des Interesses wert, zu untersuchen, welches asymptotische Ver-

F los ( % ~~ % ") 1 ^

halten einer Singularität von der Form -—— entspricht.

(*-Zo) e

Wir wollen auf diese Fragen hier nicht weiter eingehen, sondern aneinigen klassischen Beispielen zeigen, wie einfach die dargelegte Methodezur Bestimmung asymptotischer Ausdrücke zum Ziele führt.

§3.

Beispiele und Anwendungen (Potenzreihen).

9. Wir werden uns zunächst mit dem asymptotischen Verhalten einiger(beständig konvergenten) Potenzreihen

f(x) = a 0 + a x x + a„x" + ... -f a n x n + ...