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A. Haar.

beschäftigen, wenn x längs eines vom Nullpunkte ausgehenden Strahlesins Unendliche rückt. Wenn die unendliche Reihe

/ 1 1 \ / *. N ö 0 I 1 I ^ * a 2 I , t

(11) <Po( 2 ) = T + ~^" + ^ + ---+¡^I" + ---

für hinreichend große I z j konvergiert, so stellt sie die Laplacesche Trans-formierte der Funktion f (x) (für positive reelle Werte der Veränderlichen)dar, d. h. es ist

CO

9^0( z ) = / e~ zx f\x)dx.

0

Dies folgt, mit Rücksicht auf die Relation:

co

J n I

e -zx x ~n d x = ^

S H+1»

0

unmittelbar aus einem bekannten Satz") über die Integration von unend-lichen Reihen.

Wir machen nun die Annahme, daß die Reihe (11) für | z | > R kon-vergent ist; die Funktion <p 0 (z ) ist alsdann im Unendlichen regulär undgleich Null; ihre Ableitungen verschwinden von mindestens zweiter Ord-nung. Folglich sind alle Bedingungen, die wir in den Sätzen des voran-gehenden Abschnittes für das Verhalten im Unendlichen gestellt haben,erfüllt; namentlich ist die Funktion <p 0 (z) und alle ihre Ableitungen aufjeder Geraden vom Fourierschen Charakter, und es ist auch die Bedin-gung ^11 (S. 79) für jedes a und o erfüllt. Es kommen daher bei derBehandlung des asymptotischen Verhaltens von f(x) nur die im Endlichengelegenen singulären Punkte von <p 0 (z) in Betracht, und zwar in ersterReihe diejenigen, deren reeller Teil möglichst groß ist.

Wenn die unabhängige Veränderliche längs eines vom Nullpunkte aus-gehenden Strahles ins Unendliche rückt, der mit der positiven reellen Achseden Winkel 0 bildet, d. h. wenn

x = J x I e id

ist, so handelt es sich um das asymptotische Verhalten der Funktion

i i i i Q ; i 1 2 2 i d i i i in wi0 i

a 0 + a í I x I e n + a 2 1 x \ e \x\ e + ...,

deren Laplacesche Transformierte — nach dem Obigen — die Funktion, \ vi n'.a„e nid , _,. fl s

<Pd( z )= 2 j ^Tr- = e * e Vo( e t0z )

n=0 z

ist. Da sich cp d (z) im Unendlichen wie q> 0 (z) verhält, so sind für dasasymptotische Verhalten von f(x) längs des betrachteten Strahles die-

M ) Vgl. etwa Bromwich, An Introduction to the Theorie of infinite series, S. 453.