Asymptotische Entwicklungen.

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jenigen singulären Stellen von <p e (x) ausschlaggebend, deren reeller Teilmöglichst groß ist. Nach der letzten Gleichung sind diese Stellen die-jenigen singulären Punkte unserer Funktion cp 0 (z), die man durch diefolgende Konstruktion gewinnt: Man betrachte denjenigen vom Nullpunkteausgehenden Strahl, der den Winkel (—0) mit der positiven reellen Achsebildet (d. h. das Spiegelbild des betrachteten Strahles in bezug auf diereelle Achse), und bewege eine Gerade senkrecht auf diesen Strahl (bzw.auf seine Verlängerung) vom Unendlichweiten ausgehend, bis man auf einesinguläre Stelle von g o 0 (z) stößt. Die auf dieser Geraden gelegenensingulären Punkte von tp 0 (z) entsprechen den singulären Punkten voncp e (z) mit größtmöglichem Realteil.

In dem ziemlich allgemeinen Falle, daß <p 0 (z ) nur Singularitäten vonder im § 2 behandelten algebraisch-logarithmischen Art besitzt, und aufjeder Geraden nur endlich viele singuläre Punkte dieser Funktion liegen,beherrscht man — nach den vorangehenden Entwicklungen — das asympto-tische Verhalten von f(x) längs jedes Strahles.

Die soeben erwähnte Konstruktion, die die Lage der „ ausschlaggebenden"singulären Stelle von cp 0 (2) angibt, falls die unabhängige Veränderlichelängs eines Strahles ins Unendliche rückt, liefert bereits verschiedene Sätze,die Phragmén und Lindelöf in ihrer grundlegenden Arbeit „Sur une exten-sion d'un principe classique de l'Analyse..." (Acta math. 31) abgeleitethaben. Unsere Resultate gestatten aber in bestimmter Hinsicht ein tieferesEindringen in das asymptotische Verhalten der analytischen Funktionen,da sie nicht nur die Lage, sondern auch den Charakter der Singularitätender Laplaceschen Transformierten berücksichtigén. Auf Anwendungen dieserArt hoffe ich in einer späteren Mitteilung zurückzukommen.

10. Ein Beispiel für den soeben behandelten Fall liefert die Bessei-sche Funktion

deren Laplacesche Transformierte von Lipschitz berechnet wurde. Manverifiziert leicht die Relation

mit deren Hilfe man die asymptotische Entwicklung der Besseischen Funk-tion ohne Mühe, wie folgt, auswerten kann: Die singulären Stellen der

<Po( z ) = \ e~**J(x) dx = ]>](-1)'

Je (2 Ai)! 12 2k (k\)* z 2k+1