92 A. Haar.

Funktion <p 0 (z) sind die Punkte z = ± i, die algebraische Singularitäten(_ |)-ter Ordnung sind. Subtrahiert man daher von cp 0 (z) den Ausdruck

1 1 , YT/ ■,& 1-3-5 ... (2 fe — 1) 1 (z-i\ k 1

¿i I' 2 ' 8 ■■■ k V 2i / J

I)

1 \ ' 2/ ,

Tz ^2; ¡Tft fci ( z

1 1 V i k F \ k ~' 2/ , ..ft

y^ïy2i^^ 0 2 fc w 12 z)

in dem der Faktor von 1 die n- te Teilsumme der Taylorschen Ent-

^ z — i

wicklung der Funktion ist, so verschwindet die Differenz an der

T z+i

Stelle z — i von der (w + |)-ten Ordnung, daher ist die n- te Ableitungdieser Differenz bei z — i stetig. Subtrahiert man in analoger Weise

1 1 y7(-¿)* r ( ¿+ 2") r ..ft

, — — >, — ^ (z 4- i) ,

yz+i}-2ix ¿r J 0 2 k ki

so findet dasselbe an der Stelle z = — i statt. Folglich gestattet dieLaplacesche Transformierte <p 0 (z) eine Zerlegung von der folgenden Form:

r

, . 1 1 ^ii k F \ k + 1!, ..J.!

^0 ( Z ) j/^+T ~~ y"2T^^ 2 k kl z ^

V( _ i) k 2) , ..ft— \ f N

^2j—J r,— 0 + 0 + v0)>

2* *•'

wobei die w- te Ableitung von y(z) überall, auch an den Stellen z— + i,stetig bleibt. Da im Unendlichen cp 0 (z ) regulär und gleich Null ist, sosind wiederum alle Bedingungen, die wir im vorangehenden Abschnitt fürdas Verhalten der Laplaceschen Transformierten im Unendlichen aufgestellthaben, erfüllt, und der Satz (S. 85) liefert das Resultat:

k r(u j . 1

lim x n i J (x) —— J 1 , ~

L v 9*

n -ft r[k+ , .

•* v 21 e l

o* 2

k\ „f\ s X

yzi"t? 0 2 K «'■ r[±-k

1 ytiir v 2 > -s-*-*] = 0

r(I- Ä ) J '

in

oder, indem man e 2 an der Stelle von i schreibt, die Formel :

F (-k + k) cos [ x —T + k ™

lim x" I J(x) — ]/— yj-—JJ r- — ^ —] = 0,

œ=œ L ( 71 k=0 r(^-k) 2 kl X«