-, n +i

Asymptotische Entwicklungen. 93

und dies ist die bekannte asymptotische Darstellung der Besseischen Funk-tion, falls X längs der reellen Achse ins Unendliche rückt.

Will man noch eine Abschätzung für die Differenz

Vf \-7( Ï_l/X v r ^ + ¿ ) 1 00B (»-T + *t)

" {X) V* x ë>r(±-i) 2 ** ! **

gewinnen, so setze man in der letzten Formel n-\- 2 an Stelle von n;aus der so gewonnenen Gleichung

r r~ö~ + i cos ( x ~ "T + ^lim ®»+ 8 [?„(«)- j/— 2J -j- t - tït ;- — 1 = 0

x = a L ' k=n+l,n+2r(^-Jc) 2 k ' x

erhellt unmittelbar, daß

l n {x) = 0,ist. ,

Noch einfacher gestaltet sich die Rechnung, wenn die unabhängigeVeränderliche längs eines Strahles, der den Winkel 0 mit der positivenreellen Achse bildet, ins Unendliche rückt: x — \x\e ie . Man findet alsLaplacesche Transformierte in diesem Falle die Funktion

(p e ( z ) = e~ id <p 0 (e-ie z) = — . ,

+ e" la

deren singuläre Stellen

z = ± i e i 6 = + sin 0 ± i cos 0

sind. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann 0 < 0 < n angenommenwerden; alsdann ist z 0 = — i e ie — sin 0 — ¿cos 0 die „ausschlaggebende"singuläre Stelle, und eine leichte Rechnung zeigt, daß die Differenz

1 1 1 , .

VPr^-~)'-2 2 **' (i e ie ) k ' 1 >

an der Stelle z = z 0 von der (n + |) _ ten Ordnung verschwindet. Da aufder Geraden 91 (z) = 9î(— ie ie ) = sin0 keine weiteren Singularitäten von< P q (z ) liegen, so folgt, daß auf dieser Geraden rp e (z) in eine Summe vonder Form

» r i ! 4- ;h

1 1 vi \2 / ' 1 , , V

| 5 9 + e si9 2 *h~ (ie <0 ) fc(z + îe ) +v '^