94 A. Haar.

zerlegbar ist, wobei noch die n- te Ableitung von if(z) stetig bleibt. UnserSatz (S. 85) liefert unmittelbar den Ausdruck

1 _1 1_ e-" ie l*' .

í-2¿»e íe ¡á r(|-fc) 2 " k '- ( iciÖ )* \*\ k+i

als asymptotische Annäherung der Besseischen Funktion, wenn die unab-hängige Variable x längs des Strahles x — \ x \ e ie ins Unendliche rückt.Führt man x an Stelle von | re | e i0 ein, so ergibt sich der bekannte Ausdruck

¿ r (? +t ) i r'Hî-î)

Í 2nx k=0 2 k k\

x k

\2 J

und eine einfache Betrachtung, die wörtlich wie in dem obigen Falle ge-führt werden kann, lehrt, daß der Fehler wiederum von der Ordnung

£-(«+$)

Die asymptotische Entwicklung der Besseischen Funktionen höherer

o

Ordnung

*.W-iÄ(T^

k= 0 v

ist in derselben Weise durchführbar; man hat nur auf die von Heine 23 )herrührende Formel

<Po

(z) = J e~"Ji{x) dx = ai + z)ä z) '~

|1 +z

Bezug zu nehmen, die die Laplacesche Transformierte dieser Funktionenangibt. Diese Funktion (p 0 (z) ist wiederum regulär analytisch, mit Aus-nahme der Stellen z = +i, wo sie algebraische Singularitäten aufweist.Durch Reihenentwicklungen in der Umgebung dieser singulären Stellenkann man wiederum eine endliche Summe von der Form

s„(z) = U K(z — ¿) k ~ ÍJ rá k (z + ¿ )*""*)

jfc=0

bestimmen von der Beschaffenheit, daß die Differenz <p 0 (z) — s n (z) fürz — +i von der (n + è)- ten Ordnung verschwindet. Die Anwendung desSatzes (S. 85) liefert dann unmittelbar die bekannte asymptotische Ent-wicklung, und man sieht, daß ihre Berechnung nichts als die Bestimmungder Koeffizienten von gewissen Potenzentwicklungen elementarer Art er-fordert.

23 ) Theorie der Kugelfunktionen 1, S. 243, 2. Aufl. Berlin 1878.