Asymptotische Entwicklungen.

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11. Wir wollen zweitens ein Beispiel behandeln, in dem die Laplace-sche Transformierte keine elementare Funktion ist, und betrachten zudiesem Zwecke die Potenzreihe

in der s eine beliebige komplexe Größe (die nicht gleich einer positivenganzen Zahl ist) sein kann. Die asymptotische Entwicklung dieser Funktionwurde von Herrn Hardy in Angriff genommen; in seiner in der Einleitungangeführten Abhandlung zeigt er, daß, falls x längs eines vom Nullpunkteausgehenden Strahles ins Unendliche rückt, der im ersten oder viertenQuadranten liegt, die Formel

f( x ) = $( 1 +0 (-T< ar g x< f)

gilt, wobei e x gegen Null strebt, und entwickelt sodann die entsprechendeFormel für den Fall, daß der fragliche Strahl im zweiten oder drittenQuadranten liegt. Wir werden mit Hilfe unserer Methode nicht nur dieobige Formel von Herrn Hardy ableiten, sondern die volle asymptotischeEntwicklung der Funktion f(x) gewinnen.

Als Laplacesche Transformierte findet man nämlich im vorliegenden

Falle

co ^

9>o(*0=J e ~ zx f( x ) dx -Uh^T'

0 ¿=1 K 2

da diese Reihe für \z \ > 1 konvergiert, so handelt es sich bei der Be-stimmung der fraglichen asymptotischen Entwicklung nur um die Diskussionder im Endlichen gelegenen Singularitäten der Funktion cp 0 (z). Die Funktion

00 kyr z K

k s

fc= i K

wurde in der Literatur vielfach untersucht; eine ausführliche Behandlungihrer Singularitäten findet man in dem trefflichen Buche E. Lindelöfs:Sur le calcul des résidus (S. 138), wo gezeigt wird, daß die einzige imEndlichen gelegene singuläre Stelle dieser Funktion der Punkt 2=1 ist ;in der Umgebung dieser Stelle gestattet die betrachtete Funktion eineZerlegung von der Form:

wobei ^(z) an der Stelle z=l regulär analytisch ist. Daher sind die