96 A. Haar.

singulären Stellen unserer Funktion q? 0 (z) die Punkte 2 = 0 und 2=1,und in der Umgebung des letzteren gilt eine Darstellung

9?o( z ) = —, z — (logz) s-1 + V0),

wobei yj(z) an der Stelle 2=1 regulär analytisch ist. Daraus erkenntman, daß, wenn x längs eines Strahles ins Unendliche rückt, der imersten oder vierten Quadranten liegt, d. h. wenn

x = \x\e id , — |- < 0 < y

ist, so ist — nach der in 9. angegebenen Konstruktion — die „ausschlag-gebende" Singularität der entsprechenden Laplaceschen Transformierten<p (z) diejenige, die aus der singulären Stelle 2 = 1 von cp 0 (z ) entspringt.Da <p 0 (z) an dieser Stelle eine Singularität von der im § 2 behandelten Artbesitzt, so liefern unsere dort entwickelten Formeln (S. 85) die volleasymptotische Entwicklung. Um dies ins Einzelne zu verfolgen, bemerkenwir, daß die Laplacesche Transformierte

9? 6 0) = e ~ ie < Po (e~ ie 2)

die beiden singulären Stellen 2 = 0 und z=e ie besitzt, und in der Um-gebung der letzteren eine Darstellung von der Form

<P e (2) = r(1 ~ S) (log 2 - i 0) s_1 + yj ± (2)

gültig ist, wobei 1/^(2) regulär analytisch an der Stelle 2 = e ie ist. Daherist die Funktion 9 ? e (z) für 3î(2)>cos0 regulär analytisch, erfüllt imUnendlichen — da sie dort ebenfalls regulär analytisch ist — samt ihrensämtlichen Ableitungen alle gestellten Forderungen, und besitzt an derStelle 2 = e ie eine Singularität von der beschriebenen Art.

Um daher die fragliche asymptotische Entwicklung zu gewinnen, ent-wickeln wir die Funktion

(log 2 10)

in der Umgebung der Stelle z = e id ; eine leichte Rechnung ergibt

-^(1 *0/i • ß \ s—1

g (!°g s-»9)

= í: fe^¿ 7 (- V) k e- ikd (z-e i9 ) k -[(z-e id )2J { -^^-e- ikd {z-e ie ) k ] S ~ 1

e k~o k= 0 1-1

- e«)*,

6 ¡fc=0