Asymptotische Entwicklungen. 97

wobei man die Koeffizienten c l , c.,, .. c k , ... durch Multiplikation derobigen Potenzreilien berechnen kann. In geschlossener Form erhält manfür c k den Ausdruck

c * = ^Í7*&ST) S 1 íür z = 1 -

Wenn nun 9î(s) zwischen den ganzen Zahlen g und g + 1 gelegen ist

g < 5R(s) < g + 1,so verschwindet die Differenz

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Pípíi(log3 ^ ¿er 1 - ^=^(2 - e i0 ) 4_1 c k eti ae (2 - e«)*

e k=0

an der Stelle 2 = e ie von der (n-f-s)-ten Ordnung, d.h. es ist — fallsn so groß gewählt ist, daß n + g > 0 ausfällt — die (w + ¡7) -te Ableitungdieser Differenz an der betrachteten Stelle noch stetig. Unsere Funktioncp e (z) gestattet daher in der Umgebung der Stelle z—e ie (also insbeson-dere längs der Geraden 9i(2) = cos0) eine Zerlegung von der Form:

n

Ve ( 2 ) = 2 c >< e ~ ik0 ( z - e id ) k+ "~ 1 + %p„ (2),

e k= 0

wobei noch die (n + ¡7)- te Ableitung von (2) eine stetige Funktion ist.Unser Satz (S. 85) liefert daher die asymptotische Gleichung

limx «+»e-l *l c °se U( x e ie) _ £ÍInl) Y c fc e ~** 9 _ 0

d.h. es ist — wenn man x statt x\e ie einführt

lim x .+.e-[fl„) - m -•> J r(1 1] - 0.

Diese Beziehung gilt für solche Werte von x

71 r\ M

~~2 aT 8 x < y-

Für ganzzahlige Werte von s kann man ebenfalls die entsprechenden

00 «•

Formeln entwickeln, da das Verhalten der Reihe X — an der Stelle# = 1

' h, S

k = 1

für diesen Fall bereits aus Resultaten von Kummer entnommen werdenkann. Es würde auch keine Schwierigkeiten bieten, in analoger Weise dasasymptotische Verhalten der allgemeineren Funktionen

00 ky x L

~[ (k + a) s 7c!

Matheraatische Annalen. 96. 7