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98 A. Haar.

mit denen sich Herr Hardy in der erwähnten Arbeit beschäftigt, zu be-stimmen, da man — wie Herr Lindelöf in den letzten Zeilen seines er-wähnten Werkes bemerkt — die Singularitäten der Funktion

V7 z h

¿í( k + a)'

mit analogen Mitteln diskutieren kann, wie im Falle a = 0 .

Hingegen versagen unsere Entwicklungen, falls x längs eines imzweiten oder dritten Quadranten verlaufenden Strahles ins Unendlicherückt, da in diesem Falle die „ausschlaggebende" Singularität der Laplace-schen Transformierten die Stelle z = 0 ist. Diese Singularität ist nichtmehr vom algebraischen Charakter und — obwohl sich aus den Lindelöf-schen Untersuchungen verschiedene Schlüsse auf das Verhalten von <p 0 (z)in der Umgebung des Nullpunktes ergeben — so scheinen mir diese nochnicht auszureichen, um die volle asymptotische Entwicklung der obigenFunktion zu liefern.

§4.

Beispiele und Anwendungen. (Bestimmte Integrale.)

12. Für das bekannte Laplacesche Problem der „Funktionen großerZahlen" gewinnt man mit unserer Methode recht durchsichtige Formeln.Hier handelt es sich bekanntlich um die Funktion

i

f(x) = fe* F ®G(t)dt,o

wobei wir der Einfachheit halber die Strecke 0 t <¡ 1 als Integrations-intervall genommen haben. Die Laplacesche Transformierte ist in diesemFalle

1 ©(0

(12) (p (z) = ^e~ z *f(x) dx — j

b o

z — F(t)

dt.

Wir können annehmen — ohne die Allgemeinheit einzuschränken —, daßF(t) an der Stelle ¿ = 0 verschwindet, und daß für alle andern im Inte-grationsintervall gelegenen Werte von t diese Funktion einen negativenreellen Teil besitzt:

F( 0) = 0, 31(^(0) <0 für 0 < í <: 1,

da der allgemeine Fall auf diesen zurückführbar ist. Wir machen nochdie Annahme, daß die Funktionen F(t) und G(t) im Integrationsinter-vall (einschließlich der Grenzen) reguläre analytische Funktionen sind,und können leicht erkennen, wo die singulären Stellen der Funktion cp (z)