Asymptotische Entwicklungen.

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liegen. Für unsere Zwecke ist übrigens schon die triviale Bemerkung aus-reichend, daß die Funktion <59(2) mit Ausnahme der Stelle 2 = 0 für alleWerte der unabhängigen Veränderlichen, deren reeller Teil größer odergleich Null ist, regulär analytisch ist, da etwaige singuläre Stellen offenbarnur dort liegen können, wo der Nenner des Integranden von (12) ver-schwindet. Da ferner <p(z) für 2 = 00 regulär und gleich Null ist, so er-kennt man — wie im vorangehenden Abschnitte —, daß für das asympto-tische Verhalten von f(x) der Charakter der singulären Stelle 2 = 0 derFunktion 99(2) ausschlaggebend ist. Da das Integral

f -n l wh di

J z-F (t)

E

für jedes positive e (< 1) eine bei 2 = 0 reguläre analytische Funktiondarstellt, so kann man sich bei der Untersuchung des Verhaltens von95(2) im Nullpunkt auf die Funktion

0

beschränken, wobei e beliebig klein gewählt werden kann.

Um nun diese Untersuchung in voller Allgemeinheit durchzuführen,

nehmen wir an, daß F(t) für ¿ = 0 von der p- ten Ordnung verschwindet:

F(t) = t v (y 0 + 7i t + r+ • • •) (y 0 + 0),

und führen als neue Integrationsveränderliche

T = V F(t) — í V y 0 -J- y 1 t -j- J> 2 t +...

ein. Da sich aus diesem Zusammenhang t als eine für hinreichend kleineWerte von t konvergente Potenzreihe ergibt, so geht — für hinreichendkleine e — das Integral

0

in einen Ausdruck von der Form:

f c o + C 1 x + c 2 T ° + • • • + e n tn + • • • ^ T

J Z — T P

O

über, wobei

c» + 5, * + «1 + • • ■ + + •. ■ — 0 (<) " — d Gi ' !

3t (WO

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