100 A. Haar.

gesetzt ist, und als Integrationsweg der Kurvenbogen zu nehmen ist, dervermöge der Abbildung r (t ) = t der reellen Strecke 0 t 1 entspricht 24 ).Der sog. Bürmannsche Lehrsatz 25 ) liefert übrigens den folgenden expli-ziten Ausdruck für die Koeffizienten c n :

Wir zeigen zunächst, daß wenn 5ß(r) irgendeine für die in Betrachtkommenden Werte von x konvergente Potenzreihe bedeutet, das Integral

X

J t p(«+D

(w = 0, 1, 2, ...)

o

eine solche Funktion der komplexen Veränderlichen z darstellt, derenn -te Ableitung an der singulären Stelle z — 0 noch stetig bleibt. DieseBehauptung ist mit der Tatsache identisch, daß die Funktion

0

an der Stelle z = 0 stetig ist. Die durch Produktintegration gewonneneFormel

nî> J(ïS)

O

).

;pn + i rf p \ n

= (z _ A P)» ^( T )~J ((P n + l)fß(r) + rfß (r))dr

U

lehrt die Richtigkeit der Behauptung für jedes ganzzahlige n, falls sie für

34 ) Wir nehmen e so klein, daß dieser Integrationsweg ein doppelpunktloseroffener analytischer Kurvenzug ist.

36 ) Es kommt die folgende Form des fraglichen Satzes zur Anwendung: Die ander Stelle t = 0 regulär analytische Funktion co (t) möge bei t = 0 von der erstenOrdnung verschwinden; ist Ü (i) eine beliebige bei i = 0 reguläre Funktion, so giltfür hinreichend kleine | co (í) | die Darstellung

—,= C n (co(t)) n ,

K - n= 0

wobei zur Abkürzung

1 d n r f tC "~ nl dt n l" U(i)J ]<=o

gesetzt ist. (ß(f)=G L (i), a> (t) = ~\/ F {t) = t) .