Asymptotische Entwicklungen. 101

tí = 0 bewiesen werden kann; in diesem Falle aber erkennt man dieStetigkeit unmittelbar auf Grund der Relation:

o

+ |-J(^(T) + t^'(T)) lo g(z - r p )dr.

0

Wir schließen aus diesem Umstände, daß die Laplacesche Transformiertecp{z) die folgende Zerlegung gestattet:

pn + r-i '■ v

(14) <p{z)= 2 j ]——¿ dT + y j ( z )^

v=0 J z — T

0

r r= 2 c " r "

wobei ip(z) = l+ " v c L t eine solche Funktion bedeutet, deren n-te

o z x

Ableitung an der Stelle z = 0 stetig ist, und es handelt sich nun darum,den singulären Charakter der Funktionen

Jr{z)=\^—dx (v = 0, 1 , 2, . . .)

j z — T

an der Stelle z — 0 zu untersuchen.

Für V — p — 1 erhält man unmittelbar:

= j (log« - l°g(« - A p ));

in Verbindung mit der Gleichung

* f .»- 1 J fJ p . 1+kp -z J z _ %v dr J z _ rP

d r

o

fip ;2p j3p jkp'

= (,) - [L«*- + ^■-f ^«*" 3 + • • • +

erkennt man daraus sofort, daß die Differenz

z k

Jp-i+kp — y logz (¿ = 0,1,2,...)

in der Umgebung der Stelle z = 0 eine reguläre analytische Funktiondarstellt.

Ist aber

v=J=(p — 1) (modp),