136 S. Bochner.

Da die Zahlen k,g x ,g 2 , ■■■,g k feste Zahlen sind, so muß bei wachsen-dem n mit den Koeffizienten p s auch p gegen 1 konvergieren 8 ), was eigent-lich zu beweisen war.

§4.

Verschiebungsfunktionen.

1. Definition. Es sei irgendeine beschränkte Funktion f(x) imIntervall — oo < x < + oo gegeben. Unter der Verschiebungsfunktionv f (r) von f{x) verstehen wir eine in — oo < t <-j-oo definierte reelleFunktion, welche in jedem Punkte % durch den Grenzwert

(1) Ob. Gr. \f(x + x) — f(x)\

— oo + CO

gegeben ist.

Wir werden es im wesentlichen nur mit Verschiebungsfunktionen vonfp. Funktionen zu tun haben (die gelegentlich schon in Abh. I, vgl. S. 87,genannt werden), und sie dann immer mit dem Buchstaben e, also e f {x),bezeichnen. Der Wert eJr) gibt für jedes x das kleinste e, zu welchem rals Verschiebungszahl gehört.

Die Verschiebungsfunktion vJx) einer beliebigen Funktion f(x) er-füllt die Bedingungen

a) v(x )-^ O, V (0)= 0,

b) v(x) = v( — r),

c) v ( t 1 + t 2 )^ ü ( t 1 ) + í ;( t 2 );

die letzte folgt ausOb. Gr. I f(x + + t 2 ) — f(x) I <; Ob. Gr. \f(x-\-x 1 J r x i )—f(x J r x 1 )\

— co<a;<+co — co < £ <co

+ Ob. Gr. \f{x + r i ) — f(x)\.

— CO + CO

Aus den Eigenschaften a), b), c) folgt

c*) I «(Ti + * 9 ) — ü ( T a) l^ w ( T i)-Denn ersetzt man in

c) v(x x +T 2 ) — v(x i )£v(x 1 )e ) Etwa nach dem Hilfssatz: Aus den Voraussetzungen

0^ aí < £ <^-, 0 <b s < v <±- (s = l,2,..., ö

n(l -a s )^l -e, jt( 1-6,) >1- ij,

5=1 s = 1

folgt

n ( i — as —&i) > i — « - >/ •