Fastperiodische Punktionen. I.

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an. Wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit der Mengen L,.durchlaufen die einzelnen Summanden f L auf Grund des KroneckerschenSatzes ihre Wertemengen unabhängig voneinander. Präziser: macht mandie (unwesentliche) Annahme, daß f(x) reell und ohne konstantes Gliedist und bezeichnet man obere und untere Grenze von f(x) bzw. f Ly (x)mit M und —m, bzw. M v und —m,,, dann ist

H \fL v {%) I <.2! M v + Jb'm„= M + ra = K.

Aus der Approximierbarkeit durch Fejérpolynome, nämlich aus derFejérsummierbarkeit im Punkte x = 0, ist evident der (vgl. Bohr [7])

Satz IX. Für eine Fourierreihe 2 j - A a„ e iJ " x mit nur positivenKoeffizienten A a „ ist 5] A a„ konvergent.

3. Wir knüpfen an 1. an. In § 2, 1. haben wir gesehen, daß sich f(x)durch solche Fejérpolynome S%",beliebig gut approximieren läßt, indenen jedes a v ein rationales Multiplum des Elementes ß v aus einer fest-gewählten Basis (ß 1 ,ß^,...) von f(x ) ist. Bei einer Partialfunktion derGestalt f M kann dies aber unmöglich werden, wenn M ein Modul ohneechte Basis ist; es gibt (nachweislich) Partialfunktionen /j/, bei denen manes zulassen muß, daß in den Approximationspolynomen Sn¡,nHñk dieElemente a v lineare Verbindungen aus mehreren ß v sind, wie man auchdie Basis (ß 1 ,ß 2 ,...) gewählt haben mag. — In dieser Richtung liegtnoch der folgende

Satz X. Jede Partialfunktion fu (x) vonf(x) gehört zu einem Modul,d. h. ist ein f M , mit einem passenden Modul M.

B eweis. Es genügt nachzuweisen: wenn die Exponenten A 1 ,A 2 ,..., A kwesentlich in f v vorkommen, so kommt der Exponent

^ — Qi A + S'a \ + • • • + 9ic -d/c(mit beliebigen ganze n Z ahhlen g v ) entweder wesentlich in f v oder garnicht in f(x) vor. Nun, wenn die Exponenten A t , A„, A k wesentlichin fx 7 vorkommen, so müssen sie für n^.n 0 wesentlich in den Approxi-mationspolynomen S n vorkommen. In einem beliebigen der Polynome S nmögen o Basiselemente (a ist mit n variabel) vorkommen, und die Fejér-koeffizienten p g der Terme Aj_ 0 e iA e x ( q = 1, 2, ..., k) die Gestalt

haben. Dann hat, für genügend großes n der Fejérkoeffizient p von Aj e iÄXim selben Polynom S n die Gestalt

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