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S. Bochner.

Auf Grund der Reduziertheit findet man sofort

k

y s k ( x ) = \ 2 ÄA v eiÄvX = M {f(x + t) W k (t)}

r = l

und daraus

1^0*0 <>r- M{w lc (t)} = r.

Auf Grund des Kroneckerschen Satzes kann man durch passende Wahlvon X die Terme A Ar e iA >> x in s k (x) ?.ugleich beliebig nahe an | \ heran-bringen, woraus dann folgt

í\aa v \£2t,v=l *

also ist J £\ A a„\ konvergent 5 ). Die Gleichheit ¿¡\AA, t \ = r ergibt sichleicht durch nochmalige Anwendung des Kroneckerschen Satzes auf dienunmehr als gleichmäßig konvergent erkannte Reihe AA n e iAnX .

Satz VIII (Verallgemeinerung des voraufgehenden). Es seieine fp. Funktion und irgendeine Zerlegung (§ 1, 16.) ihrer Menge Lgegeben

L — L 1 + Xi 3 4- ,...

Jeder Zahlenmenge L v entspricht dann eine Partialfunktion f Ly und dieSumme

(1) f{x)=2f Lr {x)

ist absolut und gleichmäßig konvergent. — Es gibt sogar eine von x un-abhängige Konstante K, so daß

(2) 2\K(X)\£K.

Beweis. Daß jeder Zahlenmenge L v eine Partialfunktion entspricht,folgt daraus, daß L v der Durchschnitt von L mit einem Modul, nämlichdem Modul M{L V ) ist; desgleichen ist jede Summe f L¡ + f Ll + ... + fz keine Partialfunktion. Da aber die letzteren Funktionen, wie leicht zusehen, im Mittel gegen fix) konvergieren, konvergieren sie gleichmäßig.Da nun die Reihe (1) in jeder Anordnung der Terme konvergiert, kon-vergiert sie absolut. — Den Nachweis der Schranke II deuten wir nur

5 ) Diese Beweisvariante stammt von Herrn H. Bohr. Der Beweis des Verfasserswar wie der zu Satz VIII. — Bemerkenswert ist, wie wenig bei diesem Beweis zumNachweis von y¡ \ A j | < r die Fastperiodizität von f{x) herangezogen wird. Esgenügt vorauszusetzen, daß | f(x) \ < F, und daß für die (beliebig gegebene) redu-zierte Zahlenmenge (A l} A 2 , ...) für alle Zahlen A aus dem ganzen Modul G(A lt A„,...)

1 +T

die Mittelwerte A Ä = lim - t -=- J f(t) dt existieren und für A =j= A lt A z ,...

y->.& ¿ -T

verschwinden.