Fastperiodische Funktionen. I.

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sind nunmehr im Räume (x l , x 2 , .. .) gleichmäßig konvergent; das folgtdaraus, daß für jedes Polynom

(41) x !> •••) — Fv(x lt x„, ...)

die obere Grenze der absoluten Beträge nicht größer ist als die obereGrenze der absoluten Beträge von f lx {x) — f v {x), weil auf Grund desKroneckerschen Satzes die Menge der Funktionswerte f fl (x) — f v (x) in derWertemenge von (41) überall dicht liegt (Abh. II, S. 136).

Die Limesfunktion F(x 1 , x 2 , ...) ist offenbar grenzperiodisch mit derGrenzperiode •••) und erfüllt die Relation (40).

§ 3.

Einige Nebenergebnisse.

Wir erinnern an § 1, 14.— 19.

1. Unter einer zur Menge Z gehörigen Unterfunktion f z (x ) von f(x)verstehen wir diejenige fp. Funktion, sofern sie existiert, deren Fourier-terme aus genau denjenigen Termen von f(x) bestehen, deren Exponentenin Z enthalten sind. Eine Unterfunktion von f{x), die sich durch irgend-eine Folge aus der Gesamtheit aller (d.h. zu allen Basen von f(x) ge-hörigen) Fejérpolynome von f [x] approximieren läßt, nennen wir einePartialfunktion von f (x). Eine fp. Funktion, für welche der Modul M(L)eine endliche ganze Basis hat, heiße eine Bohlsche Funktion (vgl. Abh. II,S. 124).

Aus dem Beweisgang zu Satz I entnimmt man sehr leicht den

Satz VI. Es sei eine fp. Funktion f{x) gegeben. Zu jedem be-liebigen Modul M gehört eine mit /j/ zu bezeichnende Partialfunktionvon f(x). Eine Folge von Partialfunktionen, die im Mittel gegen fix)konvergiert, konvergiert gleichmäßig gegen f(x). Man kann f{x) durchBohlsche Funktionen approximieren, deren Basen in M (L) enthalten sind.

2. Satz VII (von H. Bohr [7]). Falls die Fourierexponenten A n derFunktion f(x) ~ 2J Aa „ e iA » x eine reduzierte Zahlenmenge bilden, so kon-vergiert die Reihe \ Aj u \ und ihr Wert stimmt mit der oberen Grenze

r== Ob. Gr. \f(x)\

— CO <ÍC< + CO

überein.

Beweis. Man bilde die Ausdrücke

// 2 (i,i) = je- u v'+ 1 + ~e iA r'

X I\ (0 = n„ (a 1 t)n , (A, t )...n ,{A k t).