132 S. Bochner.

Aus (36), (37) und (38) folgt

\<P ik) - S ( n (k > k 0 , N± N 0 ),

was aber mit (34) und (35) in Widerspruch steht.

Der Fall einer nicht abgeschlossenen Menge A erledigt sich durchdie Bemerkung, daß die Polynome (31) auch für die abgeschlossene HülleH{A) gleichzeitige Approximation liefern. Wenn nämlich cp(x) durchFunktionen cp v (x) aus A beliebig approximierbar ist, dann ist jeder wesent-liche Exponent^ der Funktion rp(x) auch für eine der Funktionen cp v (x)wesentlich, also ist

lim p^ = 1,

woraus nach oft angewandter Schlußweise die gleichmäßige Konvergenzvon Äy (cc) gegen <p(x) folgt.

6. Der vorausgehende Satz legt die Frage nahe, ob nicht jede aus-gezeichnete Menge eine gemeinsame Exponentenfolge haben muß. DieseFrage ist zu bejahen.

Satz V. Jede ausgezeichnete Menge besitzt eine gemeinsame Expo-nentenfolge und daher eine gemeinsame gleichartig approximierende Folgevon Polynomen.

Den Beweis bringen wir in § 4, 9.

7. Zum Schluß wollen wir zeigen, wie man auf Grund des Approxi-mationssatzes für die (beliebige) fp. Funktion f{x) ~ Aj n e iA " x die inAbh. II, Seite 125ff. betrachtete zur (beliebigen) Basis (ß L ,ß 2 ,...) ge-hörige mehrvariablige grenzperiodische Funktion

(39) F(x 1 , ~ J] A An e i KJ^+ r nJ^+--- +r n. 9 J 9n ^ n >

= \ B n (x 1} x 2 , ...)

( 2 71 2 71 \

-ß-> ß- ! • • ■ ) > welche der Relation

(40) f(x) — F (x, X, ...)genügt, erhalten kann.

Man approximiere die Funktion f(x) durch eine Folge von zur Basis(ßi> ßi> ■ • •) gehörenden Fejérpolynomen

fr ( x) = 2 p ! n v) A Än e^nx („ = 1, 2, 3, ...).

Die entsprechenden durch die Formeln (39) und (40) gelieferten „räum-lichen" Exponentialpolynome

F v (x 1 , x 2 , ...) (v = 1, 2, 3, ...)