Fastperiodische Funktionen. I.

131

der Gestalt (30) liefert eine gleichartig gleichmäßige Approximationder Funktionen cp(x), d. h. zu jedem e gibt es ein N(e), so daß

(32) \(p(x) — s !n p) X |<¡ e

für alle <p(x) und alle n~¡>N(e).

Beweis. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit 4 ) können wir vor-aussetzen, daß die Menge A eine beschränkte (§ 5, 2.) ist.

Wir benutzen (vgl. § 5, 3.), daß jede solche ausgezeichnete Menge einegleichmäßig konvergente Teilfolge enthält.

Wir behandeln zuerst den Fall einer abgeschlossenen (vgl. § 1, 9.)Menge A. Gesetzt, unser Satz (IV) wäre für die Menge A und dieFolge (31) nicht richtig. Dann gäbe es eine Folge

(33) <p ü) (x), qp {2) (x), Q9 (3) (x), ...,eine Größe e 0 und Indizes

(34) N t < N 2 < N s < ... -foo,derart, daß

(35) Ob. Gr. <p<*> - S$l e 0 (¿=1,2,...).

— co<a:< + co

Wegen der eingangs erwähnten Auswählbarkeit können wir die Folge (33)als gleichmäßig konvergent annehmen. Die Limesfunktion <p(x) = lim(p' , ' ) (a:)

V -> CO

ist wegen der Abgeschlossenheit von A durch die Folge (31) approxi-mierbar, also

(36) \(p-8 N \£^ iüv N>N 0 .

Weiterhin genügt cp(x ) einer Approximation

(37) I tp — 9? (i) I ~ für k^k 0 .

Jedes Polynom Sy — S n ist ein Fejérpolynom von cp — cpW, daher

(38) I 8 s - S n I É J » f ür k ^ k 0 und alle N.

4 ) Denn für jede ausgezeichnete Menge ist der Ausdruck | cp (x t ) — cp ( x. 2 ) | gleich-artig beschränkt für alle Funktionen der Menge und alle Punkte x t und x„ (etwanach Satz XIX). Wenn man nun alle Funktionen der Menge derart „normiert", daßdie konstanten Glieder ihrer Fourierreihen verschwinden, dann ist die so entstandene- (ausgezeichnete) Menge von selbst beschränkt, weil ja dann Realteil und Imaginärteileiner jeden Funktion sowohl positive als auch negative Werte annehmen muß. Unddie Voraussetzung der gleichzeitigen Approximierbarkeit bleibt erhalten, wenn manauch die Polynome (31) in derselben Weise normiert.

9*