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S. Bochner.

Jeder festgehaltene Exponent A n ist durch endlich viele Elementeaus darstellbar, läßt also eine Darstellung

mit ganzen Zahlen m 0 und ia zu . Jeder Zahl m> m 0 entspricht eineDarstellung

A n = ¿7 ßi + ¿7 & + • • • + S< A"mit v u = i}<k<,m 0 ), v fc =0 ( k>m 0 ). Aus

p( r j4fl_dAA fr _ MV •• fi - ^

\ (m!) y V (»»!)/ \ (ml)

folgt wegen —-(ml) W 0 !m!

lim p£? = l.

m-> co

4. Wir wollen jetzt kurz die Bedeutung des Fundamentalsatzes fürunsere bisherigen Beweise besprechen. Die in § 1, 1. —9. resümiertenEigenschaften der fp. Funktionen sind vom Fundamentalsatz unabhängig.Es sei eine fp. Funktion f(x) gegeben. Für ihre Fourierreihe J? Aj n e iAnXkönnen wir gemäß Satz III summatorische Polynome S 1 (x), S 3 (z), ...angeben, von denen ohne Fundamentalsatz nachgewiesen werden kann,daß sie ausgezeichnet und mittelkonvergent sind (weil ja die Gültigkeitdes Parsevalschen Satzes für Exponentialpolynome unmittelbar klar ist),also gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, deren Fourierreihe mitder Reihe £ Aj n e iA " x übereinstimmt. Damit ist aber der Fundamental-satz nicht umgangen, sondern nur auf den Eindeutigkeitssatz zurückge-führt, weil man von vornherein nicht zur Annahme berechtigt ist, daß dieso erhaltene Limesfunktion mit der Ausgangsfunktion f(z) übereinstimmt.Wir bemerken noch, daß die Entwicklungen in § 5 vom Fundamentalsatzunabhängig sind.

5. Der folgende Satz wird (in unwesentlich geringerem Umfange) inAbh. II, S. 207 unter Hinzunahme einer einschränkenden Voraussetzungüber die Fourier leoeffizienten bewiesen.

Satz IV. Satz über gleichartige Summation. Es sei eine aus-gezeichnete Menge A von Funktionen cp(x) gegeben, welche eine gemeinsameExponentenfolge besitzen. Jede Folge von gleichzeitig approximierendenFej érpolynomen

•(31) S 1 (x), &s(rz), S s (z), ...