Fastperiodische Punktionen. I. 129

d. k. der Limites (vgl. Fundamentalsatz)(26) lim -P^rM4 2 = 0.

[A-> co,r->co

bzw.

(26) lim 2J ! V'ji — 11 2 I A An 1 2 = 0

/[->• OO "

CO 0

maßgebend. Wegen Aa „ =|=0, (23), und lim 2J \ Aa „\ = 0 bedingen sich

N-> co n=N

aber die Limites (24) und (26) gegenseitig.

3. Wir formulieren jetzt eine gewisse Verschärfung von Satz I.

Satz III. Summationssatz. Es sei irgendeine Zahlenmenge

(27) L =

gegeben. Man kann ein Schema rationaler Koeffizienten

(28) r£> (m,n = 1,2,3,...)

angeben, in welchem bei festem m nur endlich viele von Null verschiedensind, so daß für jede ff. Funktion f{x) der Form

(29) 2A An e* Ä »*

{deren wesentliche Exponenten also ausschließlich der Menge L ent-nommen sind) die mit ihren Fourierkoeffizienten gebildeten Exponential-polynome

(30) S m (x) = 2Jr^A Än e^

eine Folge von Fejér polynomen bilden, die gleichmäßig gegen f(x) kon-vergieren.

Beweis. Nach Wahl einer Basis (&,#,,...) für die Menge L kannman setzen

ßi ßm

+(mW +(m!) 2 / ß a \

= y y (í-iíii) fi-iMVj , , + *-in)=. 4..:- A .S 1 (mfl-V („,)•;

v m =-(m I) 2

~^ PaÜ A a „ e iA " x .

Um der Mittelkonvergenz der so gewählten Fejérpolynome gegen f(x)sicher zu sein, genügt es nachzuweisen

limp« = l (» = 1,2,3,...).

oo

Mathematische Annalen. 96. 9