128 S- Bochner.

andererseits hat die Fourierreihe von //^(c^i)... II nk (u k t) das konstanteGlied 1, also

(19) M {//„, (a, t) .. . TI nk (a k t)} = 1.

Ganz analog zu (14) erhält man daher die Eelation

(20) Ob. Gr. I(a + *) — ££;;:;;^:(x)| <: Ob.Gr. \f{x+r) — f( x )

— CO<iC<+CO — CO<iB<+CO

welche besagt, daß die Gesamtheit aller möglichen Fejérpolynome S ñ\ñ*(mit den beliebigen Basen (a 15 a 3 , .. cc k )) eine majorisierbare Mengebildet (mit f(x) als Majorante). Jede im Mittel konvergente Folge vonFejérpolynomen einer und derselben Funktion f(x) ist also gleichmäßigkonvergent, und jede gegen f(x ) mittelkonvergente Folge konvergiertgleichmäßig gegen f(x).

Daß man aber f(x ) beliebig gut durch Fejérpolynome im Mittelapproximieren kann, ist leicht einzusehen. Man braucht nur nach Wahleiner Basis (ß ± , ß 2 , ■ ■ ■) für die Exponenten A n für ein genügend großes k,genügend großes m und genügend große n 1} » a , .. n k die PolynomeSn*lnl',nl für a " = ^\ (v = 1, 2, ..., k) zu bilden (vgl. die explizit hin-geschriebenen Polynome in 3), w. z. b. w.

2. Wir formulieren fürs weitere einen HilfssatzSatz II. Es sei eine fp. Funktion

(21) f(x)^> yjA A „e iA » x (alle ^„4=0)und eine Folge von fp. Funktionen der Gestalt

(22) p m (x) ~ 2! p™ A a „ e iA " x (ra = 1, 2,... )mit

(23) (m, » =1, 2, ...)gegeben.

Damit die Folge (22) mittelkonvergent ist (bziv. gegen f(x) im Mittelkonvergiert), ist notwendig und hinreichend, daß für jedes n der Limes

(24) ' lim pW bzw. limp ( {' )= =l

[I ->- CC 71 /iL -> CO 71

vorhanden ist.

Beweis. Für die Mittelkonvergenz ist das Vorhandensein des Limes

(25) lim ilí{|^(í) — Pv(0| 2 } = ,0

[I -> CC , V -> CO

bzw.

(25) lim M{\p M (t) - f{t) "} = 0,