Fastperiodische Funktionen. I. 127

was an den Darstellungen

(11) Ä A =

(12) A Ä e iAx = M {f (t) e} = M { f(t + x) e~ iA 1 }

zu erkennen ist. Auch in diesem Falle sind die Funktionen (7) gleich-mäßig konvergent, da sie offenbar im Mittel konvergent sind und weiter-hin eine durch f(x) majorisierbare (§ 1, 8), also ausgezeichnete Mengebilden, was sich wegen (8) und (9) folgendermaßen ergibt:

(13) I 8 'n (x + x) — /S n a (x)| <; M{\ f(x + T -f t) — f(x + t)\n n (cct)}

£ Ob. Gr. \f(ç + r)-f(Ç)\-M{II n (at)},

— ®<í< +®

(14) Ob. Gr. |Ä„ a (a: + T)-S„ a (a:)| ^ Ob. Gr. | f{x + t) - f(x) \.

-°°O <'+C0 -œ<œ< + oo

Die Limesfunktion ist offenbar, ebenso wie jedes der Polynome, rein-periodisch, mit der (aus Fouriertermen von f(x) gebildeten) Fourierreihe

+ CO

2 A na e ina *.

n= — os

Mit dieser Funktion ist uns aber (im allgemeinen) nicht gedient, wirmüssen die ganze Fourierreihe 2 j Aj n e iA " x heraus „summieren". Das er-reichen wir folgendermaßen :

Es seien (irgendwelche) linear unabhängigen Zahlen (a 1 , a. 2 , ...) gegeben.Der Ausdruck n 1 a i -j- n 2 a 2 + ... -(- n k a k mit ganzen Koeffizienten n,, kanndann die Relation n[a t -f- w 2 '«2 + • ■ • + u k = n" «i -f- ní' -f- ... + n¡¡ a knur für n' v = n" (v==l, 2, ...) erfüllen. Wir setzen die Polynome

+n, +n/i

(151 a "= y y (l — i^lA ( 1 — I h A M J. e(»i«x+-+> , *o*»)

"n, ,n 2 ,...,njt — ¿j ••• n J'''\ njt ) + •••+>•*«/< e

*x= — "i *k=-nk

an, welche durch die Substitution

A Vl a i+ ... +Vk aA = M{f(x + t)e~ i ^ + -- +r " a ^ t )

übergehen in

+ «j +BA-

( i6 ) s:i:::::%=M{f{x + t)- £(iJJ (i._ JAÍ.) e -w},

r 2 =-n 1 1 v/t=-nk

(17) = to{f{I + t)-n ni ko ... n nk (u k t)}.

Der Kern II n¡ (^ t) IT n ^ («., ¿) • • • U nk (a k t) hat aber für linear unabhängigea ± , a. 2 , ..c( k dieselben zwei Eigenschaften wie lT n (cct). Offenbar ist

(18) II ni (cc 1 t)...n nk (a k t)^0,