126 S. Bochner.

Nach Herrn Fejér erhält man für eine reinperiodische Funktion

-f CO

(3) f(x)~ A na e inax

n— — oo

Approximationspolynome, wenn man von den Partialsummen

+n

Sn{x)= A va e ivax

v=—n

die Mittelwerte bildet

-L. 4_o«

s : (x) = 0 w+»

(4) Sn (x) = yj ^1 — "^i) Ava e ivax .

v——n

Führt man den „Kern"

(5) n n (t)=~(i+2 e ~ M +2 e_iw )

\ V — i V--2 V= -n+1 /

(6) D.W-ifil-fe 1 )«-

v= —n

ein, dann erhält man als unmittelbare Folge der Formel

2 71

A ra e irax — ~ jf(t) e-*>««-*) dt = M{f{t)

0

= M{f(t + x)e~ ivat }

die bekannte Darstellung

(7) S:(x) = M{f(x + t)n n (at)}.

t „

l Bmn *\

An /7 n (í)= —I — I ist abzulesen, daß

n \ . t\ Bin j /

(8) n n {at)^ 0und an (6), daß

(9) M{n n {at)} = \,

weil ja Il n (at) das konstante Glied 1 hat. Diese beiden Eigenschaftendes Kernes sind bekanntlich die wahren Gründe für die Konvergenz derFolge (7).

Bildet man für eine beliebige fp. Funktion f[x) ~ J[!Aj n e iAnX undbeliebiges a die Funktionen M{f(x + t)II n {ut)}, so besteht auch danndie Identität

+ 71

(10) Sñ(x) = 2" (l - Ava e"°* = M {fix + t)n n (at)},