Fastperiodische Punktionen. I.

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Modul Mf= M(L f ) der Zahlenmenge L f der Funktion f(x) den (ent-sprec henden) Modul M umfaßt, und allgemeiner, daß für eine Majorante f[x)der (beliebig vielen) Funktionen g[x), h(x),... der Modul M f den Mo-dul M(M g , M h , ...) umfaßt.

18. Wenn ein Modul M eine solche Basis B = (ß t , /? 2 ,...) besitzt,daß er sich als Vereinigungsmodul von eindimensionalen Moduln mit je-weils einem Element ß v als Basiselement auffassen läßt, dann nennenwir B eine echte Basis von M. Es gibt schon zweidimensionale Moduln,die keine echte Basis besitzen.

19. Bildet man mit einer reduzierten Zahlenmenge (e^, a a , ...) alleganzzahligen Verbindungen

9i a i + 02 a i + • • • + 9k U k>so entsteht der ganze Modul G{a 1 , a 2 ,... ) mit der ganzen Basis

A = (a 1} a 3 , ). Ein rationalzahliger Modul Ii ist entweder ein G (q)

( q rational) oder durch solche Moduln beliebig gut approximierbar

R = lim G (g n ) e n — 0.

n-y co

Daraus kann leicht gefolgert werden, daß jeder beliebige Modul durchganze endliche Moduln approximiert werden kann.

§2.

Ein Summationsverîaliren.

1. Satz I. Approximationssatz. Jede fp. Funktion f(x) gestatteteine gleichmäßige Approximation durch Exponentialpolynome, d. h. end-liche Summen der Gestalt

(1) J£a n e iX « x ,

71=1

sogar derart, daß die Exponenten X v ausschließlich der Folge der wesent-lichen Exponenten von f(x) entnommen sind.

Beweis. Nach dem Fundamentalsatz liefern die Abschnitte derFourierreihe Polynome, p n (x), welche im Mittel gegen fix) konvergieren

(2) M {\p n (t)-f(t)\*}-»0.

n-> co

Aber schon bei reinperiodischen Funktionen sind die Abschnitte der Fourier-reihe für gleichmäßige Konvergenz nicht ausreichend. Um zu Approxi-mationspolynomen zu gelangen, genügt es (irgend)eine Folge von Poly-nomen zu haben, die im Mittel gegen f(x) konvergieren und eine aus-gezeichnete Menge bilden (§ 1, 8. 9). Solche Folgen von Polynomen wollenwir aufweisen.