138 S. Bochner.

d ' ) e (t) ist stetig im Punkte x = 0, und für jedes s liegen die Punkte r,für ivelche e(x)^e, relativ dicht auf der r- Achse — oo < r < -J- oo.

2. Daß eine fp. Funktion und ihre Verschiebungsfunktion nicht nurdenselben „Verschiebungs"-, sondern auch den gleichen Stetigkeitscharakterhaben, liegt daran, daß die gleichmäßige Stetigkeit eine Verschiebbarkeitmit „unendlich kleinen" Verschiebungszahlen ist. Aus

\e(x t ) — e(x) \ <L e(r)

ist zu ersehen, daß die Funktion e (t) gewissermaßen im Mittelpunkt % = 0am steilsten ist. Für genügend kleine e erscheint das beste Stetigkeits-<5 (e)als das kleinste positive r für welches e(r) = e.

3. Zwei verschiedene fp. Funktionen können dieselbe Verschiebungs-funktion haben, z.B. f(x) und f(x-\-k), wenn k irgendeine reelle Zahlbedeutet, f(x) und + f(x) + a usw. Zwei solche Funktionen nennen wirähnlich. Es können übrigens auch wesentlich verschiedene Funktionenähnlich sein.

Satz XII. Die Limesfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folgevon fp. Verschiebungsfunktionen ist wieder eine fp. Verschiebungsfunktion.Beweis. Man verifiziert sofort die Bedingungen a) b) c) d).

Satz XIII. Die Verschiebungsfunktionen

e d r )> e fÀ z )>■••

einer gleichmäßig konvergenten Folge von Funktionen

/iO), f»A x )> • • • —• f( x )

konvergieren gleichmäßig gegen die Verschiebungsfunktion e f (%).

Beweis. Aus

I fm( x ) - fi X )\< E

folgt

I ! fm ( X + T ) - fm O) I - I fi X + T ) - f( x ) jk 2«,

und daraus durch eine leichte Überlegung

I e f,n( z ) — e Á r ) I ^ 2e -5. Satz XIV. Die lineare Verbindung(2) ae 1 (r) + &e. 3 ( r) (a>0,&>0)

zweier Verschiebungsfunktionen e 1 (r) und e 3 (r) ist wieder eine Verschie-bungsfunktion.

Beweis. Es ist klar, daß a). b) c) erfüllt sind, und nach § 1, 3. ist(2) wieder fastperiodisch, also auch d) erfüllt.