Fastperiodische Funktionen. I. 139

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Für die Funktionen e ilx , cosAz, sin Ix ist die Verschiebungsfunktion= i _ e i>-r I = 2 sin X ^ . Demnach ist jede Summe j a n | ] 1 — e i '" T \

I I ¿ j

mit konvergenter Summe JE\a n \ eine Verschiebungsfunktion. Für reduzierte X tlist I a n 1 11 — eV '" r ¡ di e Verschiebungsfunktion von f (x) = 2] a n e a » T ,wie man durch Anwendung des Satzes VII auf

f(x) — f(x + r) = a „ (1 — e a » T ) e i, -" x

erhält. Bei Gelegenheit bemerken wir, daß ein Exponentialpolynom nieeine Verschiebungsfunktion sein kann.

6. Satz XV. Die mit zivei Verschiebungsfunktionen e 1 (t) und e a (r)gebildete Funktion

e(r) = Max(e! (r), e 2 (r)),

die also in jedem Punkte x dem größeren der Werte e x (t) und e„ (r)gleicht, ist eine Verschiebungsfunktion.

Beweis. Offenbar ist a) und b) erfüllt. Bedingung c) ergibt sichfolgendermaßen. Aus

e i( T i + t 2 ) ^ e i ( T i) + e i( T s)

e 2 ( T i + r i) Ú e i ( T i) + e 2 ( T 2 )

folgt

e i( T i + T a)^ e ( T i)+

e 0 _ ( tj + t 2 ) <1 efX) + e(r 2 ),

also auch

e ( T i + T 2 )^ e ( T i) + e ( T 2)-

Die Bedingung d)

ergibt sich daraus, daß für irgend zwei reelle fp. Funk-

tionen f(x) und g(x) die Funktion

Ms* (f (*), g (»)) -

nach § 1, 1. und 3. gleichfalls fastperiodisch ist.

Wir nannten in § 1, 8. die fp. Funktion f(x) eine Majorante von g{x),wenn

e f (T)7>e g (r) (— oo < r < + oo)

bestand. In Abh. I wird bewiesen (vgl. § 1, 3.), daß je zwei fp. Funk-tionen relativ dicht gelegene gemeinsame Verschiebungszahlen haben,woraus dann folgt, daß die Summe zweier fp. Funktionen wieder fast-periodisch ist. Durch Anwendung dieses Satzes auf Verschiebungsfunk-tionen haben wir ihn dahin verschärfen können, daß es zu je zwei Funk-tionen sogar eine gemeinsame Majorante gibt, was offenbar viel mehraussagt. Die Existenz einer Majorante wird schon durch Satz XIV sicher-gestellt, aber Satz XV besagt schärfer, daß es sogar die von vornhereindenkbar „kleinste" Majorante gibt.