140 S. Bochneri

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Satz XVI. Die mit (beliebigen) Verschiebungsfunktionene 1 ( t ), e 2 ( t ), .. e n (r)

gebildete Funktion

e(z) = Max(e 1 (r), e 2 (t), . ,.,e n (r))

¿sí wiederum eine Verschiebungsfunktion. Demnach besitzen fp. Funk-tionen in jeder endlichen Anzahl eine (sogar „kleinste") Majorante, undum so mehr relativ dicht gelegene gemeinsame Verschiebungszahlen.

Beweis. Daß e(r) eine Verschiebungsfunktion ist, ergibt sich durch(n — l)-malige Anwendung des Satzes XV, unter Berücksichtigung von

Max (a, b, c ) = Max (Max (a, b), c).

Unter der Majorante (von fp. Funktionen) schlechthin werden wirin der Regel die kleinste (Verschiebungs-)Majorante verstehen.

7. Satz XVII. Ähnliche Funktionen haben denselben Modul (alsospeziell jeweils f(x) und e f (x)).

Beweis. Von zwei ähnlichen Funktionen g{x ) und h(x) ist dieeine Majorante der andern, also nach § 1, 17., M ;/ <^M h und M h M g .

Satz XVIII. Es seien fp. Funktionen f x (x), f„ (x), ..., f n (x) undihre Verschiebungsfunktionen e 1 (r), e 2 (r), ..., e n (r) und ihre ModulnM 1 , i¥„, ..., M n gegeben.

Der Modul M* der Majorante e(r) der Funktionen e v (r) stimmtgenau mit dem Vereinigungsmodul M = M(M 1 , M„,..., M n ) über ein.

Es sei irgendeine Funktion F (w i; u 2 , ..., u n ) gegeben, welche ineinem Teile des n-dimensionalen Raumes

( U-y , Uç , . • . , U JX ) ( Uy = Vy —}~ i Wy)

definiert und gleichmäßig stetig ist. Die Punktmenge

u v = f v (x), — co < x < -f oo, (v — 1, 2, 3, .. n)möge ganz in U gelegen sein. Dann ist die FunktionF(x) = F(f 1 (x),f^(x), ..., f n (x))

eine fp. Funktion der Variablen x und ihr Modul M F ist im ModulM* (= M) enthalten.

Beweis. Weil e(r) Majorante zu e x (T), e 2 (r), ..., e n (r ) ist, istM^M*; und weil e ± (t) + e 3 (^) + • • ■ + e n ( t ) Majorante zu e(r) undaus Gründen der formalen Addition der Fourierreihen der Modul vone x (t) + ... + e n ( T ) i n M enthalten ist, ist M* <LM, also M* = M.

Offenbar ist F(x) gleichmäßig stetig. Bezüglich der Fastperiodizitätkönnen wir bei gegebenem e ein > 0 derart bestimmen, daß

I F {ui\ u™, ..., u ( n) — F(ux 2) , uf ] , ..., u ( n) | e