Fastperiodische Punktionen. I. 141

für

I wj 1 ' — Uy ) r¡ (v = 1, 2, ..., n ),

d. h. daß

I F(x + 0 — F(x) I e,

wenn

I f v (x + r) — f v {x) I <1 r¡ (v = 1, 2, .. n),

also wenn x eine zu r¡ gehörige Verschiebungszahl von e (r) ist. Hierausfolgt aber sowohl, daß F(x ) fastperiodisch ist, als auch (nach § 1, 13.unter Benutzung der Schluß weise in Abh. II, S. 115), daß M F inM* {= M) enthalten ist.

8. Die folgenden zwei Sätze werden wir in einem beweisen.

Satz XIX. Jede ausgezeichnete Menge von Funktionen ist einemajorisierbare Menge, und umgehehrt ist jede majorisierbare Menge eineausgezeichnete (§ 1, 8.).

Satz XX. Jede majorisierbare Menge

(3) e i( r ) (i durchläuft eine Indexmenge D)besitzt auch die kleinstmögliche Majorante. Dies ist die Funktion

(4) e(r) = Ob. Gr. (e.(r)),

i\D

die also in jedem Punkte t als die obere Grenze aller Werte e { (r) de-finiert ist.

Beweis. Es sei eine ausgezeichnete Menge gegeben. Die Mengeihrer Verschiebungsfunktionen ist auch ausgezeichnet (mit denselbenStetigkeits-<5 und Verschiebungszahlen). Es liege nun eine ausgezeichneteMenge der Gestalt (3) vor. Wenn wir zeigen, daß die Funktion (4) einefp. Funktion ist, werden wir beide Sätze bewiesen haben. Die durch (4)definierte Funktion ist jedenfalls überall endlich, wie sich aus der gleich-artigen Stetigkeit in Verbindung mit e¡ ( 0 ) = 0 ergibt. Von dieser Funk-tion werden wir a) b) c) d*) nachweisen. Bed. a) b) sind unmittelbarverifizierbar. Aus

e »( T i + T a) ^ e »( T i) + e i( T a)folgt e¿ (tj + r 3 ) <í e (tJ + e (t 2 ),

also

6 ( —j— X 2 ) e ( ) —j— 6 ( "^ ) j

d. h. Bed. c) ist richtig. Aus der gleichartigen Stetigkeit der e t .(t) folgtdie Stetigkeit von e(r) im Punkte r = 0, und für jede der zu e gehörigenrelativ dichten gemeinsamen Verschiebungszahlen x ist e(x) ^ e. Also istd*) erfüllt.