142 S. Bochner.

9. Jetzt ist es sehr leicht, zu Satz V den Beweis nachzutragen, daßjede ausgezeichnete Menge eine gemeinsame Exponentenfolge besitzt. Dasfolgt einfach daraus, daß die Funktionen eine Majorante haben, und alleihre Exponenten im Modul dieser Majorante enthalten sind (§ 1, 17.Bemerkung).

Wir können die Aussage noch präzisieren.

Satz XXI. Es sei eine ausgezeichnete Menge

e ¿ (r) (i durchläuft eine Indexmenge D)

von Verschiebungsfunktionen gegeben, ihre Moduln seien M¡ und die(kleinste) Majorante der Menge und ihr Modul seien e (r) und M*. DerVereinigungsmodul M(M¡) aller Moduln M i genügt der Gleichung

i\D

M{M i ) = M*.

i I D

Beweis. Aus § 1, 17. ist zu ersehen, daß die Bildung des Vereini-gungsmoduls auch für nicht abzählbare Mengen D sinnvoll ist und daßdie Ungleichung

M{Mi)<M*besteht. Bleibt nur noch zu beweisen

M{M i )^M*.

Wir wählen eine überall auf der t -Achse dicht liegende abzählbare Punkt-menge Xy und eine Folge von Funktionen

e 1 (r), e 2 (r), e 3 (r), .

deren obere Grenze in jedem der Punkte r v mit e(t,,) übereinstimmt.Die Funktionen

(5) ii„(r) = Max(e 1 (r), e 9 (r), ..., e„(t)) (a = 1,2,3,...)

bilden dann eine (endliche oder unendliche) Folge von monoton wachsendenFunktionen, die alle von e(r) majorisiert werden, also

r¡( r) <; e(r),

und in den Punkten t ,, gegen e (r) konvergieren, r¡ (r v ) = e ( t v ). Da diei) a (r) (wie leicht beweisbar) gleichartig gleichmäßig stetig sind und inüberall dicht liegenden Punkten konvergieren, konvergieren sie gleichmäßigin jedem endlichen Intervall ; also ist i] (t ) stetig und mit eft) identisch.Der Modul einer jeden Funktion r\ n (r) ist wegen (5) in M(M { ) enthalten,also wegen des Korollars zu dem (später folgenden) Satz XXIII und §1,7ist es auch der Modul M* der Limesfunktion t] (r) = e(r); d. h.

M*<L M(M { ).