Fastperiodische Funktionen. I.

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§ 5.

Normalfunktionen und Normalklassen.

Wir werden jetzt die fp. Funktionen von einer neuen Seite kennenlernen.

1. Definition. Eine {für — oo < x < + oo definierte und) stetigeFunktion f(x) soll eine Normalfunktion heißen, wenn aus jeder Folgef{x-\-k v ), (v = 1, 2, 3, ...), mit irgendwelchen reellen Zahlen k v einegleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann.

Unter einer Normalklasse verstehen wir eine Menge von Nor mal-fun ktionen <p(x), die in jeder unendlichen Teilfolge <p 1 (x), ç? a {x), ...eine gleichmäßig konvergierende Unterfolge enthält.

Von einer (beliebigen) Funktion cp {x) bzw. von einer Menge von(beliebigen) Funktionen sagen wir, daß sie die Normaleigenschaft besitze,wenn aus jeder Teilmenge der Menge cp{x-\-k) bzw. der gegebenenFunktionenmenge eine gleichmäßig konvergente Unterfolge ausgewähltwerden kann.

2. Unter einer beschränkten ausgezeichneten Menge sei irgendeineausgezeichnete Menge von gleichartig beschränkten Funktionen verstanden.

Satz XXII. Jede fp. Funktion ist eine Normalfunktion und um-gekehrt ist jede Normalfunktion eine fp. Funktion.

Jede beschränkte ausgezeichnete Menge ist eine Normalklasse undumgehrt ist jede Normalklasse eine beschränkte ausgezeichnete Menge.

Zuerst werden wir in 3., bei gleichzeitiger Formulierung einigerNebenergebnisse zeigen, daß jede beschränkte ausgezeichnete Menge dieNormaleigenschaft besitzt. Daraus folgt, daß jede fp. Funktion f{x)eine Normalfunktion ist, weil doch die Menge f(x-\-k), wo k allereellen Zahlen durchläuft, gleichartig beschränkt und die Funktion e f {r)zur gemeinsamen Majorante hat. Damit ist dann auch bewiesen, daßjede beschränkte ausgezeichnete Menge eine Normalisasse ist. In 4. wirdbewiesen, daß jede Normalfunktion fastperiodisch ist; und endlich in 5.,daß jede Menge von fp. Funktionen, die die Normaleigenschaft besitzt,eine beschränkte ausgezeichnete Menge bildet.

3. Es liege eine beschränkte ausgezeichnete Folge

fi(x), f 2 (x), ...

vor. Wegen der gleichartigen Beschränktheit und Stetigkeit kann manbekanntlich eine Teilfolge so auswählen, daß sie auf jedem endlichen Teil-intervall von — oo < x < + oo gleichmäßig konvergiert. Diese Teilfolgeist dann aber schlechthin gleichmäßig konvergent, wie der folgende Satz lehrt.