144 S. Bochner.

Sa tz XXIII. Jede ausgezeichnete Folge von Funktionen (x), f, (x),...,die in jedem endlichen Intervall gleichmäßig konvergieren, ist schlechthingleichmäßig konvergent.

Beweis. Bei vorgegebenem e bestimmen wir für die Majorante derFolge die Länge l=l(^j derart, daß jedes Intervall dieser Länge eineVerschiebungszahl r f der Majorante enthält. Weiterhin bestimmen wir

N so groß, daß in 0 <¡ x <! I für je zwei Indizes m~¡>N, n^. N die Un-gleichung

lÄJO") -f n ( x )\

besteht. Dann ist überall in — 00 < a; < + 00

(!) I/U*) -/"„(*)

Denn zu jedem x kann man eine Verschiebungszahl r (^j der Majoranteso angeben, daß £ = x — r ins Intervall 0 <[ x <¡ l hineinfällt. Dann ist

r«(®)-/«(f)l

\fm{£) — 4(^)1 = Y'

und daraus folgt (1).

Koroll ar zu Satz XXIII. Jede majorisierbare Folge von monotonivachsenden Ver Schiebungsfunktionen ist gleichmäßig konvergent, weil wegender gleichartigen Beschränktheit und Stetigkeit die Folge auf jedem end-lichen Intervall gleichmäßig konvergiert.

Satz XXIV. Es sei irgendeine fp. Funktion f(x) und irgendeineFolge reeller Zahlen c 1 , c 2 , ... gegeben. Man kann dann aus dieser Folgeeine Teilfolge c[, c'«,, c' s , ... so auswählen, daß zu jedem e ein N gehört,so daß für je zwei Indizes m~^>N, n^> N die Differenz Cm — c' n eine zus gehörige Verschiebungszahl von f(x) ist,

ZfWm— c«) ^ e n^N(s).

Beweis. Man wähle aus der Folge

f{x + c 1 ), f(x-\- c 3 ), f(x + C3), ...irgendeine gleichmäßig konvergente Teilfolge(2) f(x-\-c[), f(x + cÇ), f{x + cl), ...

aus. Die Zahlen c[, c!¡, c 3 ', ... der Folge (2) genügen unserem Satze.