Fastperiodische Funktionen. I. 145

4. Es liege eine Normalfunktion f(x) vor, wir werden zeigen, daßsie fastperiodisch ist. Aus der Ans Wählbarkeit folgt leicht, daß f (x)beschränkt und gleichmäßig stetig ist. Die „Verschiebungsfunktion"

■vJr),

Vf( t ) = Ob. Gr. I f(x + t ) — f(x) I

— CO <¡C< + CO

ist stetig, genügt den Bedingungen a) b) c) und besitzt, wie aus

\vf(% + k lt ) — Vf{t + k r )\^.Vf{k lt — k v )= Ob. Gr. \f{x+k /J ) — f(x + k v )\

— 00 4- G°

folgt, zugleich mit f (x) die Normaleigenschaft. Dann müssen aber beijedem e > 0 die Punkte r, für welche

Vf(r) < e,

relativ dicht liegen. Sonst gäbe es eine Konstante a > 0 und eine Folgevon Intervallen

(3) «,< r<ß v (» = 1,2,8,...).

(4) ß v — a v -+ oo,

so daß in allen Intervallen (3) die Ungleichung

Vf(t) ^ a

bestünde. Jede Funktion

(5)

wäre daher im Intervall

ßv — CCv . ßv — CCv

2 < r < 2

größer als a. Eine Teilfolge von (5) konvergiert gleichmäßig. Die Limes-funktion muß wegen (4) überall ^ a sein, was aber damit nicht zu ver-einbaren ist, daß jede der Funktionen v r (r) einmal den Wert 0 annimmt.

5. Es liege eine Normalklasse vor (von der wir nunmehr wissen, daßsie aus fp. Funktionen besteht). Wir werden zeigen, daß sie eine be-schränkte ausgezeichnete Menge ist. Die gleichartige Beschränktheit folgtsofort aus der Auswählbarkeit. Da nach Satz XIII die Verschiebungs-funktionen einer Normalklasse wieder eine Normalklasse bilden, nehmenwir an, daß eine Normalklasse von Verschiebungsfunktionen

e i (t) (i durchläuft eine Indexmenge D)

vorliegt. Wir haben nachzuweisen, daß die (überall endliche) Funktion

0 (r) = Ob. Gr. (e f (r))

i\D

eine Verschiebungsfunktion ist. Aus der Auswählbarkeit kann leicht ge-folgert werden, daß diese Funktion in jedem Punkte z stetig ist. Wenn

Mathematische Annalen. 96. 10