146 S. Bochner.

wir nun nachweisen, daß die Funktion 0(r) in einer überall dicht liegen-den Punktmenge mit einer Verschiebungsfunktion .übereinstimmt, sindwir fertig.

Wir wählen, wie im Beweis zu Satz XXI aus der Menge e-(r) eineFolge

®1 ( ^ ) > T T ) ' •••'deren „obere Grenze" e(r)

e(r)= Ob. Gr. (e v (r))

v=l,2,3,...

in überall dicht liegenden Punkten mit O (r) übereinstimmt. Die Funk-tion e(r) ist offenbar der Limes der monoton wachsenden Funktionen

(6) rj v (r) = Max(e 1 (r), e 9 (r), ..., e,,(r)) (v= 1, 2, 3, ...).

Wenn wir nachgewiesen haben werden, daß diese Funktionen gleichmäßigkonvergieren, dann sind wir mit dem Beweis zu Ende.

Wäre nun die Folge r¡ v (r) nicht gleichmäßig konvergent, dann gäbees eine Zahl a > 0, eine Folge von Punkten (¿=1,2,3,...) unddazugehörigen Indexpaaren ( fx k , v ]: ) der Anordnung

fi 1 <v 1 <^<v 2 <...<fi k <v h < [X k + 1 < V k+1 <...,

so daß

í7»*( T fc) — nnÁ x h) > a (¿=1,2,3,...)

wäre. Gehen wir auf die Definition (6) der Funktionen r¡ a (x) zurück, dannkönnte man auf die Existenz von Indizes £ fc , der Größe

( 7 ) t*u<X k £ v uschließen, so daß

insbesondere also (vgl. (7))

(8) %(%) — (**) > <*> für «¡|s¿ (¿=1 ,2,3,...).

Aus der Folge (t) (¿ = 1, 2, 3, ...) ließe sich nun nach Voraussetzungeine gleichmäßig konvergente Teilfolge ei (r) (¿=1,2,...) auswählen.Wegen (8) gäbe es dann aber eine Folge von Punkten r¿, so daß

ei(4) — eí_i(r¿) > a (¿=1,2,3,...)

gälte, was aber der gleichmäßigen Konvergenz der Folge e¿ (t) widerspräche.

6. Wir schließen mit einer Bemerkung. Daß die Summe zweierNormalfunktionen wieder eine Normalfunktion ist, ist nahezu evident. Inden Punkten 1. —4. des vorliegenden Paragraphen haben wir von § 4 nurden Satz XI benutzt. Also liefern die Entwicklungen des gegenwärtigenParagraphen einen neuen Beweis für die Grundtatsache, daß die Summezweier fp. Funktionen wieder fastperiodisch ist.