Über Reihen yon allgemeinen Orthogonalfunktionen.

Von

Stefan Kaczmarz in Lwów (Lemberg).

In seiner Arbeit ,, Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Ortho-gonalfunktionen" 1 ) beweist H. Rademacher folgenden Satz:

Es sei:

1. {(p n (x)} ein normiertes Orthogonalsystem,

CO 0

2. die Reihe a n konvergent,

n=i

3. y>{ri) eine monotone Folge von der Beschaffenheit, daß y> (n )■—>• + oo,

co ?

a'n y> (n) konvergiert, und n k eine Teilfolge der natürlichen Zahlen, so

n= 1

gewählt, daß yj (n k ) ¡> k ist,dann konvergiert die Folge

n k

Sn A .(a;) = 2 a iVj(x)j=l

fast überall.

In dieser Note gebe ich einen kurzen Beweis dieses Satzes, einenverallgemeinerten Satz und eine Anwendung auf die (C1 )-Summierbarkeitder Orthogonalreihen.

Beweis des Satzes von H. Rademacher.

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Setzen wir r v = a¡ und bestimmen die Teilfolge n k so, daß die

j=P+I

CO

Reihe r„ k konvergiert; dann konvergiert die Folge s ni! (x) fast überall.i= i

In der Tat: Bezeichnet man mit f(x) diejenige Funktion, für welche

b

/ (f — s p ) 2 dx—- 0 für oo, so konvergiert die Reihe

a

2 f (f s n/t) dx,

k= 1 a

*) Math. Ann. 87 (1922), S. 112.